Question

15．2016年10月17日，“神舟十一号”载人飞船成功发射，入轨后2天内与“天宫二号”实现自动交会对接，形成组合体，航天员进入“天宫二号”，假设二者匀速圆周运动的轨道如图所示，A代表“天空二号”，B代表“神舟十一号”，“天宫二号”和“神舟十一号”离地高度分别为h₁、h₂，运行周期分别为T₁、T₂，引力常量为G，对以下说法正确的是（　　）

• A． 利用以上数据可以计算出地球密度
• B． “神舟十一号”受到的地球引力大于“天宫二号”受到地球引力
• C． “神舟十一号”运行速度大于“天宫二号”运行速度
• D． 如果宇航员在“天宫二号”中相对太空舱无初速度释放小球，小球将相对太空舱净止

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列式得到地球质量和半径的关系式，再由密度公式即可求解地球密度．
根据万有引力定律$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，不知道“神舟十一号”与“天宫二号”的质量，受到地球引力不好比较
根据万有引力提供向心力，得运行速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，比较二者运行速度；
宇航员在“天宫二号”太空舱无初速释放小球，小球由于惯性和天宫二号具有相同的速度，万有引力等于需要的向心力，做圆周运动．

解答 解：A、设“天宫二号”质量为${m}_{1}^{\;}$，“神舟十一号”质量为${m}_{2}^{\;}$，地球质量为M，地球半径为R
“天宫二号”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+{h}_{1}^{\;}）$
得$\frac{GM}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+{h}_{1}^{\;}）$①
“神舟十一号”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+{h}_{2}^{\;}）$
得$\frac{GM}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+{h}_{2}^{\;}）$②
联立①②，可解得地球质量和地球的半径，根据密度公式可计算出地球的密度，故A正确；
B、因为不知道“神舟十一号”与“天宫二号”的质量关系，所以无法比较“神舟十一号”受到地球的引力与“天宫二号”受到地球的引力大小，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因为“神舟十一号”比“天宫二号”轨道半径小，所以“神舟十一号”运行速度比“天宫二号”运行速度大，故C正确；
D、若在“天宫二号”太空舱相对太空舱无初速度释放小球，由于惯性在天宫二号运动方向有与其相同的速度，故小球将与天宫二号一起绕地球圆周运动，不会自由落体向地球，小球将相对太空舱静止，故D正确；
故选：ACD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力．知道运行速度与轨道半径的关系，注意根据万有引力提供向心力只能求解中心天体的质量．