Question

如图所示，由于街道上的圆形污水井盖破损，临时更换了一个稍大于井口的红色圆形平板塑料盖．为了测试因塑料盖意外移动致使盖上的物块滑落入污水井中的可能性，有人做了一个实验：将一个可视为质点、质量为m的硬橡胶块置于塑料盖的圆心处，给塑料盖一个沿径向的水平向右的初速度v₀，实验的结果是硬橡胶块恰好与塑料盖分离．设硬橡胶块与塑料盖间的动摩擦因数为μ，塑料盖的质量为2m、半径为R，假设塑料盖与地面之间的摩擦可忽略，且不计塑料盖的厚度．
（1）求硬橡胶块与塑料盖刚好分离时的速度大小为多少？
（2）通过计算说明实验中的硬橡胶块是落入井内还是落在地面上．

Answer 1

分析：（1）硬橡胶块与塑料盖之间的摩擦力使硬橡胶块加速运动，使其速度逐渐增大，使塑料盖减速运动，使其速度逐渐减小．恰好分离就表示速度刚相等时就分离．
（2）取硬橡胶块分析，应用动能定理和由系统能量关系可求得硬橡胶块移动的位移．

解答：解：（1）设硬橡胶块与塑料盖恰好分离时，两者的共同速度为v，从开始滑动到分离经历时间为t，
在此期间硬橡胶块与塑料盖的加速度大小分别为a₁、a₂，
由牛顿第二定律得：
μmg=ma₁        ①
μmg=2ma₂       ②
v=a₁t=v₀-a₂t   ③
由以上各式得    v=

2

3

v₀   ④
（2）设硬橡胶块与塑料盖恰好分离时，硬橡胶块移动的位移为x，
取硬橡胶块分析，应用动能定理得   μmgx=

1

2

mv²           ⑤
由系统能量关系可得
    μmgR=

1

2

M

v

2 0

-

1

2

（M+m）v²   ⑥
由④⑤⑥式可得    x=

2

3

R         
因   x＜R，故硬橡胶块将落入污水井内 
答：（1）求硬橡胶块与塑料盖刚好分离时的速度大小为 

2

3

v₀ 
（2）实验中的硬橡胶块将落入污水井内．

点评：正确应用牛顿运动定律和功能关系列方程是解决这类问题的关键，尤其是弄清相互作用过程中的功能关系．