Question

14．2016年8月16日，我国科学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”成功发射，并进入预定圆轨道．已知“墨子号”卫星的质量为m，轨道离地面的高度为h，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G．求：
（1）“墨子号”卫星的向心力大小；
（2）地球的质量；
（3）第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据“墨子号”卫星的周期求出角速度，结合向心力公式求出“墨子号”卫星的向心力大小．
（2）根据万有引力提供向心力，结合）“墨子号”卫星的轨道半径和周期，求出地球的质量．
（3）根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）“墨子号”卫星的角速度$ω=\frac{2π}{T}$，
“墨子号”卫星的向心力${F_n}=m（R+h）{ω^2}=m（R+h）\frac{{4{π^2}}}{T^2}$．
（2）万有引力提供“墨子号”卫星向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}={F_n}$，
解得地球的质量$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$．
（3）万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动向心力$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$，
解得第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{R}}$．
答：（1）“墨子号”卫星的向心力大小为$m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$；
（2）地球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）第一宇宙速度为$\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{R}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度是贴近星球表面做匀速圆周运动的线速度．