Question

如图所示，一半径R=0.2m的水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块．当圆盘转动的角速度逐渐增大到某一数值时，滑块刚好从圆盘边缘处滑落，进入轨道ABC．已知AB段为光滑的圆弧形轨道，轨道半径r=2.5m，B点是圆弧形轨道与水平地面的相切点，A点与B点的高度差h=1.2m；倾斜轨道BC与圆轨道AB对接且倾角为37°，滑块与圆盘及BC轨道间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计滑块在A点和B点处的机械能损失，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑块刚好从圆盘上滑落时，圆盘的角速度；
（2）求滑块到达弧形轨道的B点时对轨道的压力大小；
（3）滑块从到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离．

Answer 1

分析：（1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界角速度；
（2）先求出A点的速度，再根据机械能的表达式求解出B点的速度，进而在B点，由牛顿第二定律求解轨道对滑块的支持力，再求解压力；
（3）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学公式求解出BC间的距离．

解答：解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，由牛顿第二定律，
可得：μmg=mω²R           
代入数据解得：ω=

μg R

=

0.5×10 0.2

rad/s=5rad/s；   
（2）滑块在A点时的速度：v_A=ωR=5×0.2m/s=1m/s    
滑块在从A到B的运动过程中机械能守恒：mgh+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²
解得：v_B=

2gh+ v 2 A

=

2×10×1.2+12

m/s=5m/s    
在B点，由牛顿第二定律，可得：F_N-mg=m

v 2 B

r

解得：F_N=m

v 2 B

r

+mg=1.0×（

52

2.5

+10）N=20N，滑块对轨道的压力大小为20N．  
（3）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a₁=g（sin37°+μcos37°）=10m/s²   
滑块沿BC段向上运动的时间：t₁=

vB

a1

=0.5s＜0.6s 故滑块会返回一段时间    
向上运动的位移：S₁=

v 2 B

2a1

=1.25m        
返回时的加速度大小：a₂=g（sin37°-μcos37°）=2m/s²   
S₂=

1

2

a₂（t-t₁）²=0.01m         
BC间的距离：s_BC=S₁-S₂=1.24m．
答：
（1）滑块刚好从圆盘上滑落时，圆盘的角速度为5rad/s；
（2）滑块到达弧形轨道的B点时对轨道的压力大小为20N；
（3）滑块从到达B点时起，经0.6s正好通过C点，BC之间的距离为1.24m．

点评：本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．