Question

9．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为$\sqrt{3}$L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，则：
（1）若在该星球上发射卫星，求最小的发射速度；
（2）该球星的平均密度为多大？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律，知初速度增大到2倍，则水平位移也增大2倍，结合几何关系求出小球落地的高度，通过平抛运动竖直方向上的运动规律求出重力加速度的大小，结合万有引力等于重力求出月球的质量M，卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律求出最小发生速度．
（2）应用密度公式求出星球的平均密度．

解答 解：（1）设抛出点的高度为h，第一次平抛运动的水平位移为x，则：x²+h²=L²
若抛出的初速度为2倍时，则水平位移为2x   因此有：（2x）²+h²=（$\sqrt{3}$L）²
设该星球表面的重力加速度为g'，则：h=$\frac{1}{2}$g′t²，
而在该星球表面上，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′，解得，星球质量：M=$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$；
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}LR}{3{t}^{2}}}$；
（2）星球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\sqrt{3}L}{2πRG{t}^{2}}$；
答：（1）若在该星球上发射卫星，最小的发射速度是$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}LR}{3{t}^{2}}}$；
（2）该球星的平均密度为$\frac{\sqrt{3}L}{2πRG{t}^{2}}$．

点评 本题综合考查了平抛运动和万有引力的综合，知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．