Question

图是一种碰撞装置的俯视图，其左边Q是一个接收器，它的下端装有光滑轨道（图中未画出），左端与固定在墙壁上的轻质弹簧相连；右边P是一固定的发射器，它可根据需要瞄准接收器的接收口，将质量m=0.10kg的珠子以v₁=50m/s的速度沿水平方向射入接收器．已知接收器的质量M=0.40kg，弹簧处于自然长度时，接收器右边缘与直线MN对齐．若接收器右边缘停止在MN线上或向右运动到达MN线时，都有一粒珠子打入接收器，并在极短时间内与接收器具有相同的速度．
（1）求第一粒珠子打入接收器之后，弹簧被压缩至最短的过程中（在弹簧的弹性限度内），当弹簧的弹性势能达到其能达到最大值的一半时接收器的速度大小；
（2）试分析当第n粒珠子射入接收器中刚与接收器相对静止时，接收器速度的大小；
（3）已知与接收器相连接弹簧的劲度系数k=400N/m，发射器左端与MN线的水平距离s=0.25m，求发射器至少应发射几粒珠子后停止发射，方能使接收器沿直线往复运动而不会碰到发射器．（注：轻质弹簧的弹性势能可按EF=

1

2

kx2进行计算，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．）

Answer 1

（1）设第一粒珠子打入接收器内刚与接收器相对静止时，接收器速度的大小为v₁，
根据动量守恒定律  mv₀=（M+m）v₁①
弹簧的最大弹性势能E_pm=

1

2

（M+m）

v

21

②
设接收器运动中弹簧弹性势能等于最大值一半时，接收器的速度为v_x ，
由机械能守恒定律  Epm=

1

2

(M+m)

v

2x

+

Epm

2

③
联立①②③，解得 vx=5

2

=7.1m/s
（2）第1粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度v1=

mv0

M+m

设第2粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v₂，
同理  mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，解得 v₂=0     
设第3粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v₃，
同理 mv₀=（M+3m）v₃，解得 v3=

mv0

M+3m

     
设第4粒珠子打入接收器相对静止时，接收器速度为v₄，
同理 mv₀-（M+3m）v₃=（M+4m）v₄，解得v₄=0
可见，当第奇数个珠子打入接收器相对静止时，接收器的速度
v奇=

mv0

M+nm

  其中n=1，3，5          
当第偶数个珠子打入接收器相对静止时，接收器的速度 v_偶=0     
（3）若接收器往复运动过程中不碰到发射器，则接收器最大位移x≤s 
根据能量守恒定律 

1

2

kx2=

1

2

(M+nm)

v

2奇

      
代入数据解得n≥6           
要使接收器在停止射击后能往复运动，则发射的珠子数n必为奇数，所以至少应发射7粒珠子后停止发射，使接收器沿直线往复运动而不碰到发射器．