题目内容
人类对宇宙的探索是无止境的．随着科学技术的发展，人类可以运送宇航员到遥远的星球去探索宇宙奥秘．假设宇航员到达了一个遥远的星球，此星球上没有任何气体．此前，宇航员乘坐的飞船绕该星球表面运行的周期为T，着陆后宇航员在该星球表面附近从h高处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知万有引力常量为G．求：
（1）该星球的密度；
（2）该星球表面的重力加速度
（3）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为多大？
（1）该星球的密度；
（2）该星球表面的重力加速度
（3）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为多大？
分析：（1）根据万有引力提供向心力，结合周期的大小求出星球的质量，通过星球的体积求出星球的密度．
（2）根据水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合竖直高度，运用位移时间公式求出星球表面的重力加速度．
（3）根据星球表面的重力加速度，根据星球表面重力提供向心力求出发生的速度．
（2）根据水平位移和初速度求出平抛运动的时间，结合竖直高度，运用位移时间公式求出星球表面的重力加速度．
（3）根据星球表面的重力加速度，根据星球表面重力提供向心力求出发生的速度．
解答：解：（1）在星球表面
=mR
又M=ρ?
πR3
解得 ρ=
又G
=mg，解得R=
．
（2）设星球表面的重力加速度为g，小球的质量为m，小球做平抛运动，
故有 h=
gt2，L=v0t
解得g=
．
（3）该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，设为为v，设卫星的质量为m1，则在星球表面
G
=m1
又 G
=m1g
则v=
代入（1）问中的R，解得v=
．
答：（1）该星球的密度ρ=
．
（2）该星球表面的重力加速度为g=
．
（3）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为v=
．
| GMm |
| R2 |
| 4π2 |
| T2 |
又M=ρ?
| 4 |
| 3 |
解得 ρ=
| 3π |
| GT2 |
又G
| Mm |
| R2 |
| gT2 |
| 4π2 |
（2）设星球表面的重力加速度为g，小球的质量为m，小球做平抛运动，
故有 h=
| 1 |
| 2 |
解得g=
| 2hv02 |
| L2 |
（3）该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，设为为v，设卫星的质量为m1，则在星球表面
G
| Mm1 |
| R2 |
| v2 |
| R |
又 G
| Mm1 |
| R2 |
则v=
| gR |
代入（1）问中的R，解得v=
| hTv02 |
| πL2 |
答：（1）该星球的密度ρ=
| 3π |
| GT2 |
（2）该星球表面的重力加速度为g=
| 2hv02 |
| L2 |
（3）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为v=
| hTv02 |
| πL2 |
点评：本题考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．
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高处以初速度
水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为
，已知万有引力常量为
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