Question

17．如图a所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示，开始时刻，磁场方向垂直纸面向里（如图）．t=0时刻，有一带正电的粒子（不计重力）从坐标原点O沿x轴正向进入磁场，初速度为v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷为1.0×10⁴C/kg，其它有关数据见图中标示（磁感应强度B取垂直纸面向里为正）．试求：

（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s时刻，粒子的坐标．
（2）粒子从开始时刻起经多长时间第一次到达y轴．
（3）粒子是否还可以返回坐标原点O？如果可以，则经多长时间第一次返回坐标原点O？

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力可以得到轨道半径，由轨道半径可得周期，由磁场的变化可以画出在第一段时间内粒子的运动轨迹，由运动轨迹的几何关系可得到粒子的坐标．
（2）依据第一问得到的结果，可以得到在第二，第三时间段内的运动轨迹，由图可知粒子恰好在第三段时间末到达y轴，由此可得时间
（3）依据磁场变化的周期性，可知粒子的运动也存在对应的周期性，可做粒子的轨迹图，由图可知其返回的时间．

解答 解：（1）粒子进入磁场后在磁场中作圆周运动，设半径为R，周期为T，由洛仑兹力提供向心力，
有qvB=$m\frac{v2}{R}$ 得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2×103×10-4}{0.5}$=0.4m
   又T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π×10-4}{0.5}$=4π×10^-4s
在磁场变化的第一段时间内，粒子运动的周期数为：N=$\frac{1}{3}$（个运动周期）运动轨迹对应的圆心角为120°，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．第一段时间末，粒子的坐标为：
x=Rcos30°=0.2$\sqrt{3}$m，y=R+$\overline{{O}_{1}A}$sin30°=0.6m
所求时刻，粒子的坐标（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m） 
（2）根据第（1）问可知，粒子在第一个磁场变化的时间段内时，运动了N₁=$\frac{1}{3}$个周期，在第二个时间段内运动的周期数为N₂=$\frac{1}{6}$（个周期） 
所对应的运动轨迹圆心角为60°．运动轨迹如图所示．

第三个时间段内同样运动了：N₃=$\frac{1}{3}$（个周期），
对应的圆心角为120°粒子运动轨迹如图，粒子恰好在第三段时间末通过y轴故运动时间为t=$\frac{π}{3}$×10^-3s s  
（3）粒子在磁场中作周期性运动，根据对称性和周期性，画出粒子的部分运动轨迹如图，其中O₂、O₆、O₁₀构成一个正三边形．
故粒子在磁场中一共运动了6个大圆弧和6个小圆弧，故从原点出发到回到原点的总时间为t'=6×$\frac{4π}{3}$×10^-4s+6×$\frac{2π}{3}$×10^-4s=12π×10^-4s  
答：（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s时刻，粒子的坐标（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m）．
（2）粒子从开始时刻起经运动时间为为$\frac{π}{3}$×10^-3s 到达y轴．
（3）粒子可以返回原点，所经历的时间为12π×10^-4s

点评 本题重点是对磁场周期性的应用，磁场的周期性一定就会由粒子运动周期性的变化，故只要得到一个周期的运动轨迹，就可以重复画轨迹，直到得到想要的结果．本题由于粒子的运动轨迹比较复杂，故考察的难度相对较大．