Question

2．在某密度均匀的球形星球上，一物体在赤道处的重量是其在极地处重量的90%．已知该星球的半径为R，求该星球在赤道上方太空运行的同步卫星的高度．

Answer 1

分析 根据物体在极地与赤道处，受力分析，结合题意，再由引力提供向心力，即 $\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=m′{ω}^{2}（R+h）$，从而即可求解．

解答 解：设该星球的质量为M，自转的角速度为ω，物体的质量为m，则物体在极地处的重量是
F₁=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$                     
在赤道处，由于星球自转，物体随同做匀速圆周运动，由其重量为
${F}_{2}=\frac{GMm}{{R}^{2}}-m{ω}^{2}R$           
根据题意有
F₂=90%F₁                      
星球的同步卫星运行的角速度与星球自转的角速度相同，设其高度为h，则由向心力公式有
 $\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=m′{ω}^{2}（R+h）$         
由以上方程联立可解得：
h=（$\root{3}{10}$-1）R
答：该星球在赤道上方太空运行的同步卫星的高度（$\root{3}{10}$-1）．

点评 考查引力与重力的关系，掌握牛顿第二定律的应用，注意引力定律与向心力表达式的内容．