Question

10．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求：
（1）M、N两点间的电势差U_MN；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从M点运动到P点的总时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由速度的分解求出粒子到达x轴的速度大小，再用动能定理即可求得电场中M、N两点间的电势差．
（2）粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，可由牛顿第二定律求出在磁场中运动的半径r．
（3）电场中，根据分位移公式求时间．磁场中，根据轨迹对应的圆心角求时间，即可得到总时间．

解答 解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，将到达N点的速度分解得知
    vcosθ=v₀
解得，粒子离开电场时的速度大小 v=2v₀．
从M→N过程，由动能定理得：
 qU_MN=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入解得，U_MN=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则
   qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
（3）画出轨迹如图，由几何知识得：ON=rsin60°
粒子从M点到N点的时间 t₁=$\frac{ON}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}r}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
粒子从N到P所用的时间：t₂=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
故总时间 t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）M、N两点间的电势差U_MN为$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$．
（3）粒子在磁场中运动的轨道半径r为$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$．
（4）粒子从M点运动到P点的总时间t为$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{2πm}{3qB}$．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．