Question

9．如图所示，质量M=2kg、长L=4.8m的木箱在水平拉力F₀=66N的作用下沿水平面向右做匀加速直线运动时，箱内质量m=1kg的物块恰好能静止在木箱后壁上；若此物块贴近木箱后壁放于底板上，木箱在水平拉力F=9N的作用下由静止向右做匀加速直线运动，运动时间t后撒去拉力，则物块恰好能运动到木箱前壁．已知木箱与水平面间的动摩擦因数μ₁=0.2，物块与木箱底板间的动摩擦因数μ₂是物块与木箱后壁间的动摩擦因数μ₀的$\frac{1}{5}$，不计木箱壁的厚度、最大摩擦力等于滑动摩擦力，物块可视为质点，取g=10m/s²，求：
（1）物块与木箱底板间的动摩擦因数μ₂；
（2）拉力F的作用时间t；
（3）第二种情况下，整个过程中因摩擦产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）物块恰好能静止在箱的后壁，知木块在竖直方向上受重力和滑动摩擦力平衡；再对整体分析，根据牛顿第二定律求出加速度的大小，然后联立求出动摩擦因数．
（2）木箱在水平拉力F=9N的作用下由静止向右做匀加速直线运动，撤去拉力后木箱与滑块都做匀减速运动，使用牛顿第二定律求出各自的加速度，然后结合运动学的公式求解即可；
（3求出各自的位移，然后结合功能关系即可求出．

解答 解：（1）水平拉力F₀=66N拉木箱时，由牛顿第二定律得：
F₀-μ₁（m+M）g=（m+M）a，
求得共同的加速度：a=20m/s²，
物块与木箱之间的作用力：N=ma₀=1×18=20N，
恰好能静止在箱的后壁，知木块在竖直方向上受重力和滑动摩擦力平衡，即：μ₀N=mg，
所以：${μ}_{0}=\frac{mg}{N}=\frac{1×10}{20}$=0.5，
所以：${μ}_{2}=\frac{1}{5}{μ}_{0}$=$\frac{1}{5}$×0.5=0.1，
（2）木箱与地面之间的摩擦力：f₁=μ₁（m+M）g=0.2×（1+2）×10=6N，
物块与摩擦之间的滑动摩擦力：f₂=μ₂mg=$\frac{1}{9}$×1×10=1N，
由题意，当撤去拉力后，物块相对于木箱向前运动，所以物块受到的摩擦力的方向向后，加速度：${a}_{2}=-\frac{{f}_{2}}{m}=-\frac{1}{1}=-1m/{s}^{2}$
木箱受到地面对木箱的向后的摩擦力和物块对木箱的向前的摩擦力，加速度：${a}_{1}=\frac{-{f}_{1}+{f}_{2}}{M}=\frac{-6+1}{2}=-2.5m/{s}^{2}$
由于木箱的加速度大于物块的加速度，可知木箱先停止运动，当木箱停止运动后，由于物块与木箱之间的摩擦力小于木箱与地面之间的最大静摩擦力，所以木箱相对于地面静止，物块继续在木箱内滑动，直到停止．
设撤去拉力时木箱的速度为v，则撤去拉力后木箱的位移：${x}_{1}=\frac{0-{v}^{2}}{2{a}_{1}}=-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$；
滑块的位移：${x}_{2}=-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
由x₂-x₁=L
联立得：v=4m/s，x₁=3.2m，x₂=8m
撤去拉力前木箱与物块整体受到水平拉力和地面的摩擦力的作用，由动量定理得：
（F-f₁）t=（M+m）v
所以：$t=\frac{（M+m）v}{F-{f}_{1}}=\frac{（2+1）×4}{9-6}=4$s
（3）木箱与物块整体的加速度：${a}_{3}=\frac{F-{f}_{2}}{M+m}=\frac{9-6}{2+1}=1m/{s}^{2}$
整体的位移：${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×{4}^{2}=8$m
根据功能关系，在整个的过程中产生的热量：Q=f₁（x₁+x₃）+f₂（x₂-x₁）
代入数据得：Q=72.0J
答：（1）物块与木箱底板间的动摩擦因数是0.1；
（2）拉力F的作用时间是4s；
（3）第二种情况下，整个过程中因摩擦产生的热量是72J．

点评 该题属于牛顿第二定律的应用中多物体多过程的类型，由于涉及的过程比较多，要注意理清头绪，理清每一个对应的过程，然后再结合题意分析解答．