Question

13．如图所示，光滑的水平面AB与半径R=0.4m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D点为半圆轨道最高点，A点的右侧连接一粗糙的水平面．用细线连接甲、乙两物体，中问夹一轻质压缩弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴接，甲的质量朋m₁=4kg，乙的质量m₂=5kg，甲、乙均静止．若固定乙，烧断细线，甲离开弹簧后经过B点进入半圆轨道，过D点时对轨道的压力恰好为零．取g=10m/s²，甲、乙两物体均可看作质点，求：
（1）甲离开弹簧后经过B点时的速度的大小v_B；
（2）在弹簧压缩量相同的情况下，若固定甲，烧断细线，乙物体离开弹簧后从A点进入动摩擦因数μ=0.4的粗糙水平面，则乙物体在粗糙水平面运动的位移S．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出甲在D点的速度，根据机械能守恒定律求出甲离开弹簧后经过B点的速度大小．
（2）根据能量守恒求出乙的初速度，结合牛顿第二定律和速度位移公式求出物体在粗糙水平面上运动的位移大小．

解答 解：（1）甲在最高点D，由牛顿第二定律得：m₁g=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
设甲离开弹簧运动至D点的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₁v_B²=$\frac{1}{2}$m₁v_D²+m₁g•2R，
代入数据联立解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s．
（2）甲固定，烧断细线后乙的速度大小为v₂，由能量守恒定律得：
E_P=$\frac{1}{2}$m₁v_B²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²，
代入数据解得：v₂=4m/s．
乙在粗糙水平面做匀减速运动：μm₂g=m₂a，
代入数据解得：a=4m/s²，
则有：s=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×4}$=2m．
答：（1）甲离开弹簧后经过B点时的速度的大小为2$\sqrt{5}$m/s；
（2）乙物体在粗糙水平面运动的位移为2m．

点评 本题考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、能量守恒定律和运动学公式的综合运用，关键理清甲乙的运动规律，选择合适的规律进行求解．注意弹簧压缩量相同时，弹性势能相等．