Question

2．一质量为m的物体，放在倾角为30°的斜面上，恰能匀速下滑．
（1）物体在大小为F的水平向右的恒力作用下，沿斜面匀速向上滑行，如图所示，当斜而倾角增大并超过某一值时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜而向上滑行，试求这一临界角的大小．
（2）保持斜面倾角30°不变，在竖直平面内施加外力，使物体沿斜面向上匀速滑行，求最小的外力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）物体匀速下滑时受力平衡，根据共点力平衡条件并结合正交分解法列方程，同时结合摩擦力公式求解动摩擦因素μ，设斜面倾角为α，由匀速直线运动的条件求出推力的表达式，结合数学知识，即可求解临界角大小；
（2）设F与斜面成β角时，F最小，物体做匀速直线运动，受力平衡，根据平衡条件求出F的表达式，再结合数学方向求出最小的外力大小和方向．

解答 解：（1）恰能匀速下滑：mgsin30°=μmgcos30°
得：$μ=\frac{sin30°}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
设斜面倾角为α，由匀速直线运动的条件：
沿斜面方向上有：Fcosα=mgsinα+f₁
N₁=mgcosα+Fsinα
f₁=μ_N1
解得：$F=\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$
当cosα-μsinα=0   即cotα=μ 时，F→∞，
即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”此时，α=60°
（2）设F与斜面成β角时，F最小，物体做匀速直线运动，受力平衡，则有：
Fcosβ=mgsin30°+f₂，
N₂+Fsinβ=mgcos30°
f₂=μN₂
解得：F=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{cosβ+μsinβ}$=$\frac{mg}{cosβ+μsinβ}$
当cosβ+μsinβ最大时，F最小，
对y=cosβ+μsinβ求导数，得：y′=μcosβ-sinβ
令y′=0得：tanβ=μ 即，β=30°时F最省，此时 F=$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$
答：（1）这一临界角的大小为60°．
（2）最小的外力大小为$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$，方向与斜面成30°斜向上．

点评 本题是简单的力平衡问题，关键是分析物体的受力情况，根据平衡条件列式求解，特别注意用数学知识来确定极值问题，难度较大．