Question

14．某电视台拟推出一个水上娱乐节目，体验者乘坐滑水车运动过程可以简化为如下模型．如图所示，滑水车从倾角为θ=53°的长直轨道AC上的B点由静止开始下滑，到达C点后进入弧形的涉水轨道CDEF，其中CDE是半径为R=5m，圆心角为106°的圆弧，EF为半径为R=5m，圆心角为53°的圆弧，此时滑水车刚好能到达F点．已知滑水车与体验者的总质量为60kg，B点到C点的距离为L₀=4m，滑水车与轨道AC间存在摩擦，涉水轨道CDEF可视为光滑轨道，不计滑水车受到的其他阻力作用，则

（1）求滑水车经过CDE轨道时对D点的压力；
（2）求滑水车与轨道AC间的动摩擦因数μ；
（3）若要使得滑水车能在F点水平抛出，求滑水车在AC上的释放点B′到C的距离L′的范围．

Answer 1

分析 （1）滑水车刚好能到达F点的速度v_F=0，从D到F点，由机械能守恒求D点速度，对D点由牛顿第二定律求压力；
（2）研究从B到F的整个过程中，动能变化为0，由动能定理可求摩擦力做功W_f，进而求μ；
（3）若要使得滑水车能在F点水平抛出，一个临界条件是需满足其恰好到达F点，另一临界条件是滑水车在F点不受支持力．

解答 解：（1）滑水车刚好能到达F点的速度v_F=0，根据几何关系可知DF间的高度差
h_DF=2R（1-cos53°）=4m
从D到F点，由机械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}=mg{h}_{DF}$，解得${v}_{D}=\sqrt{80}\\;m/s$m/s
对D点，设滑水车受到的支持力F_D，由牛顿第二定律，有${F}_{D}-\\;\\;\\;mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$mg=$m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，解得F_D=1560N
由牛顿第三定律，滑水车对轨道的压力为1560N
（2）研究从B到F的整个过程中，动能变化为0，由动能定理可得
W_G+W_f=0
其中
W_G=mgL₀sin53°-mgR（1-cos53°）
W_f=-μmgL₀cos53°
代入解得μ=0.5
（3）要使滑水车在F点水平抛出，首先需满足其恰好到达F点，对应L′=L₀=4m
滑水车能在F点水平抛出的另一临界条件是滑水车在F点不受支持力，对应情况
$mg=m\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$，解得：v_F=$\sqrt{50}$m/s
研究从B′到F点，由动能定理
$mgL′sin53°-mgR（1-cos53°）-μmgL′cos53°=\frac{1}{2}m$${v}_{F}^{2}$
得L′=9m
由以上讨论可知，滑水车在AC上的释放点B′到C的距离L′需满足4m＜L′≤9m
答：（1）滑水车经过CDE轨道时对D点的压力为1560N；
（2）滑水车与轨道AC间的动摩擦因数μ=0.5；
（3）若要使得滑水车能在F点水平抛出，滑水车在AC上的释放点B′到C的距离L′需满足4m＜L′≤9m．

点评 若要使得滑水车能在F点水平抛出，一个临界条件是需满足其恰好到达F点，另一临界条件是滑水车在F点不受支持力．
选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．