Question

【题目】如图，半径R=m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点A和圆心O的连线与水平方向夹角θ=30°，另一端点B为轨道的最低点，其切线水平。一质量M=2kg、板长L=2.0m的滑板静止在光滑水平地面上，右端紧靠B点，滑板上表面与圆弧轨道B点和左侧固定平台C等高。光滑水平面EF上静止一质量为m=1kg的物体（可视为质点）P，另一物体Q以v0=m/s向右运动，与P发生弹性正碰，P随后水平抛出，恰好从A端无碰撞进入圆弧轨道，且在A处对轨道无压力，此后沿圆弧轨道滑下，经B点滑上滑板。滑板运动到平台C时立刻被粘住。已知物块P与滑板间动摩擦因数μ=0.5，滑板左端到平台C右侧的距离为s。取g=10m/s2，求：

（1）物体P经过A点时的速度；

（2）物体Q的质量mQ；

（3）物体P刚滑上平台C时的动能EkC与s的函数表达式。

Answer 1

【答案】（1）2m/s；（2）0.5kg；（3）见解析。

【解析】

（1）设P在A点的速度为vA．由P无碰撞进入圆轨道，且在A处对轨道无压力，则在A处，由重力指向圆心的分力提供P所需要的向心力，有

mgsinθ=m

解得

vA=2m/s

（2）对P在A点的速度分解，则其水平分速度

vx=vAsinθ=2×0.5m/s=1m/s

所以P的平抛初速度为

vx=2m/s

Q与P发生弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律得

mQv0=mQvQ+mvx。

由机械能守恒得

mQv02=mQvQ2+mvx2。

联立解得

mQ=0.5kg

（3）P从A点沿圆轨道滑至B点过程，由机械能守恒定律得

解得

vB=2m/s

P滑上滑板后，P带动滑动滑板运动，设P与滑板能达到共速，此过程滑板向左运动位移为xM。

对P与滑板系统，取向左为正方向，由动量守恒定律有

mvB=（M+m）v共

解得

v共=m/s

对滑板，由动能定理得

μmgxM=

解得

xM=m

①当s≥xM=m时，P物体刚滑上平台C时的动能EkC与s无关，对P和滑板，由能量关系有

EkC=-Q-△E

其中Q=μmgL

△E=

解得

EkC=J

②当s＜xM=m时，滑板与平台相碰时，P与滑板未共速，对滑板，由动能定理得

fs=

对P和滑板，由能量关系有

其中 Q=μmgL

解得

EkC=（4-5s）J