Question

如图所示，两根平行金属导轨相距L，上端接有直流电源，电源电动势为E，内阻为r，导轨的倾斜部分与水平面成θ角，水平部分右端与阻值为R的电阻相连．倾斜部分存在垂直斜面向上的匀强磁场，水平部分存在垂直水平面向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小相等．倾斜导轨与水平导轨光滑连接，金属棒a与导轨接触良好，质量为m，电阻也为R．金属导轨固定不动且电阻不计．不计一切摩擦．导轨的倾斜部分和水平部分都足够长．求：
（1）开关闭合时，金属棒a恰能处于静止状态，求匀强磁场磁感应强度的大小？
（2）断开开关，从静止释放金属棒a，在金属棒a进入水平轨道后，电路中产生的最大焦耳热为多少？

Answer 1

分析：（1）开关闭合时，金属棒a恰能处于静止状态，棒a所受的重力、安培力和导轨的支持力三力平衡，根据闭合电路欧姆定律、安培力公式和平衡条件列方程，求解即可．
（2）断开开关，从静止释放金属棒a，先做加速运动，随着速度增大，棒产生的感应电动势和感应电流增大，合力减小，加速度减小，由于导轨的倾斜部分足够长，所以金属棒在进入水平轨道前做匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式和平衡条件求出匀速运动时的速度．在金属棒a进入水平轨道后，棒a做减速运动，最终由于安培力作用而停止运动，动能全部转化为内能，根据能量守恒求解．

解答：解：（1）设开关闭合时，电路的总电阻为R₁，电路中的总电流为I₁，流过金属a的电流为I_a，则：
R1=

1

2

R+r…①
I1=

E

R1

…②
Ia=

I1

2

…③
金属棒a平衡，则mgsinθ=BI_aL…④
解得：B=

mg(R+2r)sinθ

EL

…⑤
（2）由于轨道倾斜部分足够长，金属棒在进入水平轨道前做匀速运动，设断开开关时，电路的总电阻为R₂，金属棒a做匀速运动的速度为v₂，棒中的电动势E₂，电路中的电流为I₂，则R₂=2R   …⑥
 E₂=BLυ₂ …⑦
 I2=

E2

R2

  …⑧
金属棒在倾斜导轨上以v₂匀速运动，处于平衡状态，
则mgsinθ=BI₂L     …⑨
解得：υ2=

2mgRsinθ

B2L2

  …⑩
在金属棒a进入水平轨道后，设电路中产生的最大焦耳热为Q，根据能量守恒：Q=

1

2

m

υ

2 2

 
解得：Q=

2E4R2

mg2sin2θ(R+2r)4

                                
答：（1匀强磁场磁感应强度的大小为

mg(R+2r)sinθ

EL

．
（2）断开开关，从静止释放金属棒a，在金属棒a进入水平轨道后，电路中产生的最大焦耳热为

2E4R2

mg2sin2θ(R+2r)4

．

点评：本题分析时，一定要注意题中条件：导轨的倾斜部分和水平部分都足够长，分析知道在斜轨上棒最终匀速运动，在水平轨道上最终静止，再运用电磁感应的规律和力学知识求解．