题目内容
【题目】如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=
m，两轮轴心相距L=3.75 m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。一个质量为0.1 kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=
。g取10 m/s2。
（1）当传送带沿逆时针方向以v1=3 m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？（计算中可取
≈16，
≈20）
（2）小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹。当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在A点，运动至B点飞出。要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度v2至少多大？
【答案】（1）t=1.2 s （2）v2=12.25 m/s
【解析】（1）当小物块速度小于3 m/s时，小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a1，根据牛顿第二定律
Mgsin 30°+μmgcos 30°=ma1①
解得a1=7.5 m/s2
当小物块速度等于3 m/s时，设小物块对地位移为L1，用时为t1，根据匀加速直线运动规律得
②
③
代入解得t1=0.4 s
L1=0.6 m
由于L1<L且μ<tan 30°，当小物块速度等于3 m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设加速度为a2，用时为t2，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律得
Mgsin 30°–μmgcos 30°=ma2④
解得a2=2.5 m/s2
又L–L1=v1t2+
a2t22⑤
解得t2≈0.8 s
故小物块由静止出发从A到B所用时间为t=t1+t2=1.2 s
（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′时，小物块将从A点一直以加速度a1做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，设用时t0，即
L=a1t02⑥
解得t0=1 s
传送带的速度继续增大，小物块从A到B的时间保持t0不变，而小物块和传送带之间的相对路程继续增大，小物块在传送带上留下的痕迹也继续增大；当痕迹长度等于传送带周长时，痕迹为最长smax。
设此时传送带速度为v2，则
smax=2L+2πR⑦
smax=v2t0–L⑧
联立⑥⑦⑧解得v2=12.25 m/s
