Question

如图（甲）所示为一种研究高能粒子相互作用的装置，两个直线加速器均由k个长度逐个增长的金属圆筒组成（整个装置处于真空中。图中只画出了6个圆筒，作为示意），它们沿中心轴线排列成一串，各个圆筒相间地连接到频率为f、最大电压值为U的正弦交流电源的两端。设金属圆筒内部没有电场，且每个圆筒间的缝隙宽度很小，带电粒子穿过缝隙的时间可忽略不计。为达到最佳加速效果，应当调节至粒子穿过每个圆筒的时间恰为交流电的半个周期，粒子每次通过圆筒间缝隙时，都恰为交流电压的峰值。
质量为m、电荷量为e的正、负电子分别经过直线加速器加速后，从左、右两侧被导入装置送入位于水平面内的圆环形真空管道，且被导入的速度方向与圆环形管道中粗虚线相切。在管道内控制电子转弯的是一系列圆形电磁铁，即图中的A₁、A₂、A₃……A_n，共n个，均匀分布在整个圆周上（图中只示意性地用细实线和细虚线了几个），每个电磁铁内的磁场都是磁感应强度和方向均相同的匀强磁场，磁场区域都是直径为d的圆形。改变电磁铁内电流的大小，就可改变磁场的磁感应强度，从而改变电子偏转的角度。经过精确的调整，可使电子在环形管道中沿图中粗虚线所示的轨迹运动，这时电子经过每个电磁铁时射入点和射出点都在电磁铁的一条直径的两端，如图（乙）所示。这就为实现正、负电子的对撞作好了准备。
（1）若正电子进入第一个圆筒的开口时的速度为v₀，且此时第一、二两个圆筒的电势差为U，正电子进入第二个圆筒时的速率多大？
（2）正、负电子对撞时的速度多大？
（3）为使正电子进入圆形磁场时获得最大动能，各个圆筒的长度应满足什么条件？
（4）正电子通过一个圆形磁场所用的时间是多少？

Answer 1

（1）   （2）
（3） （N=1、2、3……k）
（4）

（1）设正电子进入第二个圆筒时的速率为v₁，根据动能定理
eU=
解得：v₁=
（2）正、负电子对撞时的动能等于进入第k个圆筒时的动能E_k，根据动能定理
(k-1)eU=
解得　　　
（3）设正电子进入第N个圆筒的速率为v_N-1，第N个圆筒的长度为L_N，则
L_N=v_N-1
由动能定理得
(N-1)eU=
解得：
第N个圆筒的长度应满足的条件是：
 （N=1、2、3……k）
（4）设电子经过1个电磁铁的圆形磁场区过程中偏转角度为θ，则 
由图可知，电子射入匀强磁场区时的速度与通过射入点的磁场直径夹角为θ/ 2
电子在磁场区内作圆运动，洛仑兹力是向心力
        　　　
∴    
根据几何关系  
解出 
设正电子通过一个圆形磁场所用的时间是t，则，
　　而
所以，