Question

1．如图所示，一个质量为 m 的圆环套在一根固定的水平直杆 上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为 μ．现给环一个向右的初速度v₀，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力 F，F=kv （ k 为常数，v 为环的速率），则环在整个运动过程中克服摩擦力所 做的功可能为（　　）

• A． $\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
• B． $\frac{1}{2}$mv₀²
• C． $\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$
• D． $\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$

Answer 1

分析 对圆环进行分析，根据重力和推力的大小可能情况明确圆环最终的状态，从而根据动能定理分析克服摩擦力做功情况．

解答 解：根据题意有对于小环的运动，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：
（1）当mg=kv₀时，即v₀=$\frac{mg}{k}$时，环做匀速运动，摩擦力为零，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零；
（2）当mg＞kv₀时，即v₀＜$\frac{mg}{k}$时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为W_f=$\frac{1}{2}$mv₀²；
（3）当mg＜kv₀时，即v₀＞$\frac{mg}{k}$时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=$\frac{mg}{k}$时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功
W_f=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²=-$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$，即环克服摩擦力所做的功为$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$，故BD正确，AC错误．
故选：BD．

点评 本题考查动能定理的应用，要注意明确推力随v的变化而变化，所以可能出现多种情况，要注意全面分析，从而得出正确结果．