Question

3．如图甲所示，不变形、足够长、质量为m₁=0.2kg的“U”形金属导轨PQMN放在绝缘水平桌面上，QP与MN平行且距离d=1m，Q、M间导体电阻阻值R=4Ω，右内侧紧靠两固定绝缘小立柱1、2；光滑金属杆KL电阻阻值r=1Ω，质量m₂=0.1kg，垂直于QP和MN，与QM平行且距离L=0.5m，左侧紧靠两固定绝缘小立柱3、4．金属导轨与桌面的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余电阻不计．从t=0开始，垂直于导轨平面的磁场磁感应强度如图乙所示．
（1）求在整个过程中，导轨受到的静摩擦力的最大值f_max；
（2）如果从t=2s开始，给金属杆KL水平向右的外力，外力对金属杆作用的功率保持不变为P₀=320W，杆到达最大速度时撤去外力，求撤去外力后QM上产生的热量Q_R？

Answer 1

分析 （1）在0-1s内B均匀增大，回路中产生恒定的感应电流，由法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求出感应电流，由公式F=BIL求出导轨受到的安培力大小，即可求得静摩擦力的最大值．
（2）从t=2s开始，导轨QM受到的安培力向右，由于小立柱1、2的作用，金属导轨PQMN静止．杆达到最大速度时匀速运动，由平衡条件求出最大速度，再由能量守恒求解撤去外力后QM上产生的热量Q_R．

解答 解：（1）在0～1s时间内，设t时刻磁场磁感应强度为B，QKLM中的感应电动势为E，电流为I，金属导轨QM受到的安培力为F，则
由乙图得  B=2+2t（T），得 $\frac{△B}{△t}$=2T/s                   
由法拉第电磁感应定律得 E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$dL=2×1×0.5V=1V
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1}{4+1}$A=0.2A
导轨所受的安培力 F=BId=（2+2t）Id
当t=1s时，安培力最大为F_m，则F_m=0.8N
设金属导轨PQMN受到的最大静摩擦力为f_m，则f_m=μ（m₁+m₂）g=0.5×（0.2+0.1）×10N=1.5N
1s以后，电动势为零，QM受到的安培力为零．即安培力最大时，仍然小于金属导轨PQMN受到的最大静摩擦力，金属导轨PQMN始终静止，受到的是静摩擦力，所以
f_max=F_m                             
则得 f_max=0.8N                            
（3）从t=2s开始后，导轨QM受到的安培力向右，由于小立柱1、2的作用，金属导轨PQMN静止．设杆KL的最大速度为v_m时，感应电动势为E₁，电流为I₁，受到的安培力为F₁，外力为F₀，则 E₁=B₀dv_m，I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
则得 F₁=B₀I₁d=$\frac{{B}_{0}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{R+r}$  
速度最大时外力与安培力平衡，则有F₀=F₁
据题 F₀v_m=P₀                        
即$\frac{{P}_{0}}{{v}_{m}}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{R+r}$  
解得 v_m=10 m/s
撤去外力直到停下来，产生的总热量为Q₀，则
 Q₀=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{m}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×1{0}^{2}$J=5J
QM上产生的热量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q₀=$\frac{4}{4+1}$×5J=4J
答：（1）在整个过程中，导轨受到的静摩擦力的最大值f_max为0.8N．
（2）QM上产生的热量 Q_R为4J．

点评 第1题属于感生现象，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出感应电流，分析导轨的状态是关键．第2题类似于汽车起动，要正确分析棒的运动情况和能量转化情况，知道杆的速度最大时受力平衡．