Question

8．如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下，电场的大小为E（未知）．在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B（未知），方向垂直于纸面向外．有一质量为m，带有电荷量+q的质点以速率v₀由y轴上P点平行于x轴射入电场，质点到达x轴上A点时速率为2v₀，速度方向与x轴的夹角为φ（未知），A点与原点O的距离为d，接着质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场，不计重力影响，若OC与x轴的夹角也为φ，求
（1）φ=60°；
（2）匀强电场的场强大小E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（3）磁感应强度的大小B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律由速度的合成与分解求得夹角的大小；
（2）由平抛运动规律粒子在电场中的加速度，再根据牛顿第二定律求得电场强度的大小；
（3）作出粒子在磁场中的运动轨迹，再根据几何关系求得粒子在磁场中圆周运动的半径根据洛伦兹力提供圆周运动向心力求得磁感应强度的大小．

解答 解：（1）质点在电场中在电场力作用下做类平抛运动，质点在P点的速率为v₀，方向平行于x轴射入电场，在A点时的速率为2v₀，则有：
$\frac{{v}_{P}}{{v}_{A}}=\frac{{v}_{0}}{2{v}_{0}}=cosφ$
所以可得φ=60°
（2）设从P点到A点类平抛运动的时间为t，
则有${v}_{A}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
可得质点离开电场时${v}_{y}=\sqrt{3}{v}_{0}$
水平方向有：d=v₀t
可得粒子运动时间：t=$\frac{d}{{v}_{0}}$
竖直方向有：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t=\frac{\sqrt{3}}{2}d$
又在竖直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
联立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（3）质点在磁场中运动的轨迹如右图所示

质点运动轨迹为一圆弧，质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上，依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点速度方向垂直的直线与OC交于O'，由几何关系知，AO'垂直于OC，O'是圆弧的圆心，设圆弧的半径为R则有：
R=dsinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
由洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$
故答案为：60°；$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

点评 本题为电荷在电场和磁场中运动的题目，在电场中的运动一般以平抛为主，而在圆周运动中主要考查匀速圆周运动，应注意找出圆心和半径；同时要注意题目中哪些为已知量哪些为未知量．