Question

(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G，太阳的质量为M_太.
(2) 一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

Answer 1

（1）（2）

试题分析：(1)解：由 得  即
（2）解：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则
G=mω₀²R, 所以，ω₀²=πGρ。
由于ω≤ω₀得ω²≤πGρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。
点评：天体运动这一模块需要注意公式较多，正确掌握公式是此类题目的关系