Question

【题目】如图甲所示，轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L。现将该弹簧水平放置，如图乙所示。一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD在竖直方向上。物块P与AB间的动摩擦因数，用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度为L处，然后释放P，P开始沿轨道运动，重力加速度为。

（1）求当弹簧压缩至长度为L时的弹性势能；

（2）若P的质量为，求物块离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离；

（3）为使物块P滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P的质量取值范围。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）由机械能守恒定律可知：弹簧长度为L时的弹性势能为

（2）设P到达B点时的速度大小为，由能量守恒定律得：

设P到达D点时的速度大小为，由机械能守恒定律得：

物体从D点水平射出，设P落回到轨道AB所需的时间为

（3）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点的速度不能小于零

得

要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，得