题目内容

如图所示,一质量为M=0.4kg的光滑半圆形凹槽放在光滑水平面上,凹槽的半径为R=0.25m,另一质量为m=0.1kg的小球从凹槽的左侧最高点由静止释放,求:
(1)凹槽向左移动的最大距离;
(2)小球滑至凹槽的最低点时小球的速度;
(3)当小球滑至凹槽的最低时,小球对凹槽的压力.
分析:(1)小球从静止下滑时,系统水平方向不受外力,动量守恒.小球下滑直到右侧最高点的过程中,凹槽一直向左运动,根据系统水平方向平均动量守恒,用水平位移表示小球和凹槽的速度,根据动量守恒列式求解凹槽向左移动的最大距离;
(2)小球滑至凹槽的最低点时,根据系统的水平方向动量守恒和机械能守恒列式,即可求出小球的速度;
(3)当小球滑至凹槽的最低时,凹槽的支持力和重力提供小球圆周运动的向心力,根据小球相对于凹槽的速度表达向心力,由牛顿第二定律列式求解支持力,即可得到小球对凹槽的压力.
解答:解:(1)当小球滚到最右端时,凹槽向左移动的距离最大,设此过程中
小球水平位移的大小为s1,凹槽水平位移的大小为s2
在这一过程中,由系统水平方向总动量守恒得(取水平向左为正方向)
  m
s1
t
-M
s2
t
=0
又 s1+s2=2R
由此可得:s2=
m
M+m
2R
=0.1m
(2)当小球滚至凹槽的最低时,小球和凹槽的速度大小分别为v1和v2.据水平方向动量守恒
  mv1=mv2
另据机械能守恒得:mgR=
1
2
mv12+
1
2
Mv22
可得:v1=
M
M+m
2gR
=2m/s
  v2=0.5m/s
(3)当小球滚至凹槽的最低时,根据牛顿第二定律得:
  N-mg=m
v
2
R
=m
(v1+v2)2
R

  N=m
(v1+v2)2
R
+mg=3.5N
根据牛顿第三定律可知小球对凹槽的压力大小为3.5N.
答:
(1)凹槽向左移动的最大距离为0.1m;
(2)小球滑至凹槽的最低点时小球的速度为0.5m/s;
(3)当小球滑至凹槽的最低时,小球对凹槽的压力为3.5N.
点评:本题中前两题是常规题,利用系统水平方向动量守恒和机械能守恒列式,即可求出相关量.关键是第3问,运用向心力时,v是小球相对于凹槽的速度,是v1+v2,不是小球相对于地的速度v1
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