Question

如图所示，一质量为M=0.4kg的光滑半圆形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半径为R=0.25m，另一质量为m=0.1kg的小球从凹槽的左侧最高点由静止释放，求：
（1）凹槽向左移动的最大距离；
（2）小球滑至凹槽的最低点时小球的速度；
（3）当小球滑至凹槽的最低时，小球对凹槽的压力．

Answer 1

分析：（1）小球从静止下滑时，系统水平方向不受外力，动量守恒．小球下滑直到右侧最高点的过程中，凹槽一直向左运动，根据系统水平方向平均动量守恒，用水平位移表示小球和凹槽的速度，根据动量守恒列式求解凹槽向左移动的最大距离；
（2）小球滑至凹槽的最低点时，根据系统的水平方向动量守恒和机械能守恒列式，即可求出小球的速度；
（3）当小球滑至凹槽的最低时，凹槽的支持力和重力提供小球圆周运动的向心力，根据小球相对于凹槽的速度表达向心力，由牛顿第二定律列式求解支持力，即可得到小球对凹槽的压力．

解答：解：（1）当小球滚到最右端时，凹槽向左移动的距离最大，设此过程中
小球水平位移的大小为s₁，凹槽水平位移的大小为s₂．
在这一过程中，由系统水平方向总动量守恒得（取水平向左为正方向）
  m

s1

t

-M

s2

t

=0
又 s₁+s₂=2R
由此可得：s₂=

m

M+m

2R=0.1m
（2）当小球滚至凹槽的最低时，小球和凹槽的速度大小分别为v₁和v₂．据水平方向动量守恒
  mv₁=mv₂
另据机械能守恒得：mgR=

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²
可得：v₁=

M M+m 2gR

=2m/s
  v₂=0.5m/s
（3）当小球滚至凹槽的最低时，根据牛顿第二定律得：
  N-mg=m

v 2 相

R

=m

(v1+v2)2

R

  N=m

(v1+v2)2

R

+mg=3.5N
根据牛顿第三定律可知小球对凹槽的压力大小为3.5N．
答：
（1）凹槽向左移动的最大距离为0.1m；
（2）小球滑至凹槽的最低点时小球的速度为0.5m/s；
（3）当小球滑至凹槽的最低时，小球对凹槽的压力为3.5N．

点评：本题中前两题是常规题，利用系统水平方向动量守恒和机械能守恒列式，即可求出相关量．关键是第3问，运用向心力时，v是小球相对于凹槽的速度，是v₁+v₂，不是小球相对于地的速度v₁．