Question

18．如图，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°，将一个质量m=1.0kg的物体（视为质点）从A点左侧高为h=0.8m处的P点水平抛出，恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，已知物体与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物体水平抛出时的初速度大小v₀；
（2）物体经过B点时受圆弧轨道支持力大小F_N；
（3）物体在轨道CD上向上运动的最大距离x．

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动，由自由落体运动的规律求出物体落在A时的竖直分速度，然后应用运动的合成与分解求出物体的初速度大小v₀．
（2）通过计算分析清楚物体的运动过程，由能量守恒定律求出物体在B点的速度，然后又牛顿第二定律求出物体对圆弧轨道压力大小F_N；
（3）先由机械能守恒求出物体在C点的速度，然后由动能定理即可求解．

解答 解：（1）物体在抛出后竖直方向做自由落体运动，竖直方向：${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4$m/s
物体恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，则：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan53°$

得：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}m/s=3$m/s
（2）物体到达A点的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}m/s=5$m/s
A到B的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
物体在B点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F_N=43N；
（3）B到C的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+mgR（1-cos37°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：${v}_{C}=\sqrt{27}$m/s
物体在斜面CD上受到的摩擦力：f=μmgcos37°=0.5×1.0×10×0.8N=4N
设物体在轨道CD上运动的距离x，则：$-fx-mg•xsin37°=0-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：x=1.45m；
答：（1）物体水平抛出时的初速度大小是3m/s；
（2）物体经过B点时受圆弧轨道支持力大小是43N；
（3）物体在轨道CD上向上运动的最大距离是1.45m．

点评 该题过程比较多，解答本题关键是分析清楚物体的运动情况，然后根据动能定理、平抛运动知识、能量守恒定理解题．