Question

12．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形粗糙导轨在B点衔接，导轨半径R=0.6m，一个质量为m=1Kg的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力大小为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，取g=10m/s²，求：
（1）物块运动到B点时的速度大小V；
（2）物块从B至C克服阻力所做的功W；
（3）物块离开C点后落回到水平面时的动能E_k．

Answer 1

分析 （1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿运动定律求出物体经过B点的速度，
（2）得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中运用动能定理，可得弹簧对物块的弹力做的功等于物体经过B点的动能；物体恰好到达C点时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度，物体从B到C的过程，运用动能定理求解克服阻力做的功．
（3）物体从C到水平面，由动能定理求物块落回水平面时动能的大小．

解答 解：（1）物块在B点时受到重力mg和导轨的支持力N=7mg．
由牛顿第二定律，有：7mg-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得：v_B=$\sqrt{6gR}$=$\sqrt{6×10×0.6}$=6m/s
（2）物体从A运动到B，由动能定理得弹簧对物块的弹力做的功为：
W_弹=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=3mgR．  
物块在C点仅受重力．据牛顿第二定律，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：v_C=$\sqrt{gR}$
物体从B到C只有重力和阻力做功．根据动能定理，有：
-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得物体从B到C克服阻力做的功为：W_f=$\frac{1}{2}$mgR=$\frac{1}{2}$×1×10×0.6=3J．
（3）物体从C到水平面，由动能定理得：
E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R
解得：E_k=$\frac{5}{2}$mgR=$\frac{5}{2}×1×10×0.6$=15J
答：（1）B点的速度为6m/s；
（2）物块从B至C克服阻力做的功为3J；
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小为15J．

点评 本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理或平抛运动的知识求解．