Question

足够长且电阻不计的金属光滑导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为d，M、P两点间接有阻值为R的电阻，建立平面直角坐标系，坐标轴x，y分别与PQ、PM重合，如图所示．空间存在垂直导轨平面且范围足够大的磁场，磁场沿x轴的分布规律为B=B0sin(

2π

λ

x)，其中B₀、l 为常数，以竖直向下方向为B 的正方向．一根电阻不计的导体棒AB垂直导轨放置，在与棒垂直的水平外力F的作用下从非常靠近y轴的位置以速度v 匀速向x 轴的正方向运动，运动过程中，棒始终与导轨垂直．求：
（1）导体棒运动到哪些位置，回路中的电流达到最大值；
（2）外力随时间t的变化关系；
（3）导体棒发生上个λ的位移过程中，电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）导体棒匀速运动切割磁感线产生的感应电动势E=Bdv，由欧姆定律I=

E

R

可得到电流的表达式，即可求得电流达到最大值时的位置．
（2）棒所受的安培力 F_安=BId，因导体棒做匀速运动，外力与安培力平衡，可求得外力的表达式．
（3）当导体棒发生上个λ的位移过程中，交流电变化了一个周期，产生的焦耳热由焦耳定律求出，要注意用电流的有效值求解．

解答：解：（1）导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E=Bdv
感应电流为 I=

E

R

=

Bdv

R

=

B0dvsin( 2π λ x)

R

则知 电流最大时导体棒的位置坐标为 x=

2n-1

4

λ（n=1，2，3…）．
（2）导体棒所受的安培力 F_安=BId 
导体棒做匀速运动，外力与安培力平衡，则有 F=F_安=BId
 又 x=vt 
联立得 F=

vd2

R

B

2 0

sin2(

2π

λ

vt)
（3）由I=

dv

R

B0sin

2π

λ

vt，可知该交流电为正弦交流电，则在导体棒发生一个λ的位移过程中，交流电变化了一个周期．产生的焦耳热为：
  Q=[

dv R B0

2

]²R?

λ

v

=

d2 B 2 0 vλ

2R

答：
（1）导体棒运动到位置坐标为 x=

2n-1

4

λ（n=1，2，3…）时，回路中的电流达到最大值；
（2）外力随时间t的变化关系为F=

vd2

R

B

2 0

sin2(

2π

λ

vt)．
（3）导体棒发生上个λ的位移过程中，电阻R上产生的焦耳热是

d2 B 2 0 vλ

2R

．

点评：本题是产生正弦式交变电流的一种方式，运用法拉第定律、欧姆定律、安培力公式结合进行求解．中档题．