Question

5．如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）cd离NQ的距离s；
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量；
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

分析 （1）当刚释放时，导体棒中没有感应电流，所以只受重力、支持力与静摩擦力，由牛顿第二定律可求出动摩擦因数．
（2）当金属棒速度稳定时，则受到重力、支持力、安培力与滑动摩擦力达到平衡，这样可以列出安培力公式，产生感应电动势的公式，再由闭合电路殴姆定律，列出平衡方程可求出金属棒的内阻，从而利用通过棒的电量来确定发生的距离．
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，由动能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功导致电能转化为热能．
（4）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的．

解答 解：（1）当v=0时，a=2m/s²
由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入数据解得：μ=0.5       
（2）由图象可知：v_m=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时，有：F_A=B₀IL；
且：B₀IL+μmgcosθ=mgsinθ
代入数据解得：I=0.2A；
切割产生的感应电动势为：E=B₀Lv=1×0.5×2=1V；
因$I=\frac{E}{R+r}$，
代入数据解得：r=1Ω
电量为：$q=It=n\frac{△φ}{△t（R+r）}t=n\frac{△φ}{R+r}$
而△φ=△B×L×s
即有：s=2m
（3）$mgh-μmgscos{37^0}-{W_F}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
产生热量：W_F=Q_总=0.1J
${Q_R}=\frac{4}{5}{Q_总}=0.08J$
（4）当回路中的总磁通量不变时，
金属棒中不产生感应电流．
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．              
牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
${B_0}Ls=BL（{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}）$
则磁感应强度与时间变化关系：$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+υt+\frac{1}{2}a{t^2}}}=\frac{2}{{2+2t+{t^2}}}$．
答：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.5； 
（2）cd离NQ的距离2m；
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量0.08J；
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化为$B=\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$．

点评 本题考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律，安培力公式、感应电动势公式，还有动能定理．同时当金属棒速度达到稳定时，则一定是处于平衡状态，原因是安培力受到速度约束的．还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．最后线框的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流是解题的突破点．