题目内容

5.如图甲所示,MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨,NQ⊥MN,导轨的电阻均不计.导轨平面与水平面间的夹角θ=37°,NQ间连接有一个R=4Ω的电阻.有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上,磁感应强度为B0=1T.将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上,且与导轨接触良好.现由静止释放金属棒,当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度,已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C,且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示,设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行.(取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8).求:
(1)金属棒与导轨间的动摩擦因数μ;
(2)cd离NQ的距离s;
(3)金属棒滑行至cd处的过程中,电阻R上产生的热量;
(4)若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0,从此时刻起,让磁感应强度逐渐减小,为使金属棒中不产生感应电流,则磁感应强度B应怎样随时间t变化(写出B与t的关系式).

分析 (1)当刚释放时,导体棒中没有感应电流,所以只受重力、支持力与静摩擦力,由牛顿第二定律可求出动摩擦因数.
(2)当金属棒速度稳定时,则受到重力、支持力、安培力与滑动摩擦力达到平衡,这样可以列出安培力公式,产生感应电动势的公式,再由闭合电路殴姆定律,列出平衡方程可求出金属棒的内阻,从而利用通过棒的电量来确定发生的距离.
(3)金属棒滑行至cd处的过程中,由动能定理可求出安培力做的功,而由于安培力做功导致电能转化为热能.
(4)要使金属棒中不产生感应电流,则穿过线框的磁通量不变.同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动.从而可求出磁感应强度B应怎样随时间t变化的.

解答 解:(1)当v=0时,a=2m/s2
由牛顿第二定律得:mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入数据解得:μ=0.5       
(2)由图象可知:vm=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时,有:FA=B0IL;
且:B0IL+μmgcosθ=mgsinθ
代入数据解得:I=0.2A;
切割产生的感应电动势为:E=B0Lv=1×0.5×2=1V;
因$I=\frac{E}{R+r}$,
代入数据解得:r=1Ω
电量为:$q=It=n\frac{△φ}{△t(R+r)}t=n\frac{△φ}{R+r}$
而△φ=△B×L×s
即有:s=2m
(3)$mgh-μmgscos{37^0}-{W_F}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
产生热量:WF=Q=0.1J
${Q_R}=\frac{4}{5}{Q_总}=0.08J$
(4)当回路中的总磁通量不变时,
金属棒中不产生感应电流.
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动.              
牛顿第二定律:mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g(sinθ-μcosθ)=10×(0.6-0.5×0.8)m/s2=2m/s2
${B_0}Ls=BL({s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}})$
则磁感应强度与时间变化关系:$B=\frac{{{B_0}s}}{{s+υt+\frac{1}{2}a{t^2}}}=\frac{2}{{2+2t+{t^2}}}$.
答:(1)金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.5; 
(2)cd离NQ的距离2m;
(3)金属棒滑行至cd处的过程中,电阻R上产生的热量0.08J;
(4)若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0,从此时刻起,让磁感应强度逐渐减小,为使金属棒中不产生感应电流,则磁感应强度B应怎样随时间t变化为$B=\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$.

点评 本题考查了牛顿运动定律、闭合电路殴姆定律,安培力公式、感应电动势公式,还有动能定理.同时当金属棒速度达到稳定时,则一定是处于平衡状态,原因是安培力受到速度约束的.还巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离.最后线框的总磁通量不变时,金属棒中不产生感应电流是解题的突破点.

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