Question

【题目】如图所示，电阻不计的光滑金属导轨ABC、DEF平行放置，间距为L，BC、EF水平，AB、DE与水平面成θ角．PQ、P′Q′是质量均为m、电阻均为R的金属杆，它们与导轨垂直．平行板电容器的两极板（相距为d）M、N水平放置，并通过导线与导轨连接．FC的左侧整个区域处于磁感应强度大小为B1、方向竖直向下的匀强磁场中．电容器两极板间圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2 ， 圆形磁场区域半径r1=0.5d，与电容器两板及左侧边缘线相切．让杆PQ沿水平导轨运动，使杆P′Q′静止不动，试求：

（1）PQ运动速度的大小和方向．
（2）若一个不计重力的带正电粒子沿两板间中心线O1O2从左侧边缘．O1点以速度v0射入，恰沿直线通过圆形磁场区域，经过时间t0从极板边缘飞出；撤去磁场，让该粒子仍从O1点以相同速度射入，则经t0/2时间打到极板上，求v0的大小为多少？
（3）若两极板不带电，保持圆形区域磁场不变，满足（2）问比荷的该粒子仍沿中心线O1O2从O1点射入，欲使粒子从两板间飞出，求射入的速度大小应满足的条件[已知tan2θ= ]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PQ切割磁感线产生的感应电动势：E=B1Lv，

电路电流：I= = ，

P′Q′杆受到的安培力：F=B1IL= ，

P′Q′杆静止处于平衡状态，由平衡条件得：mgtanθ=F，

解得：v= ，

由右手定则与左手定则可知，PQ应向右运动

（2）

解：设极板长为x，撤去磁场后粒子做类平抛运动，水平方向位移：x﹣2r1=x﹣d，

有磁场时：x=v0t0，无磁场时：x﹣d= ，

解得：x=2d，v0=

（3）

解：撤去磁场时粒子做类平抛运动，粒子的偏移量：0.5d= ，

粒子在磁场中做匀速直线运动，由平衡条件得：qv0B2=q ，

解得： = ，

无电场时粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好从上极板左边缘时的轨道半径为r，圆心角为α，

由几何知识得：tanα= ，α=45°，r+ r=0.5d，

洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB2=m ，

解得：v= ；

粒子恰好从上极板右边缘飞出时，由几何知识得：

tan2θ= ，tanθ= ，已知：tan2θ= ，

解得：v= ，

粒子的速度需要满足的条件是：0＜v＜ ，v＞

【解析】（1）应用E=BLv求出感应电动势，应用欧姆定律求出电流，应用安培力公式求出杆受到的安培力，然后应用平衡条件求出杆的速度大小，应用左手定则与右手定则判断杆的运动方向．（2）撤去磁场时粒子做类平抛运动，有磁场时粒子做匀速直线运动，应用类平抛运动规律与平衡条件可以求出粒子的速度．（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出粒子的临界速度，然后确定其速度范围．
【考点精析】关于本题考查的洛伦兹力，需要了解洛伦兹力始终垂直于v的方向，所以洛伦兹力一定不做功才能得出正确答案．