Question

17．如图所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切．一质子（不计重力）沿两板间中心线O₁O₂从左侧O₁点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为t₀．若仅撤去磁场，质子仍从O₁点以相同速度射入，经$\frac{{t}_{0}}{2}$时间打到极板上．
（1）求两极板间电压U；
（2）求质子从极板间飞出时的速度大小；
（3）若两极板不带电，保持磁场不变，质子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使质子从两板间左侧飞出，射入的速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速直线运动，由受力平衡条件，通过运动学公式与牛顿第二定律，结合电场力与洛伦兹力表达式，即可求解；
（2）由速度与时间关系，可求质子在沿电场方向的速度，因此可求出飞出极板间的速度大小；
（3）质子恰好从上极板左边缘飞出，因此由几何关系，结合运动学公式与向心力表达式，从而可求出质子两板左侧间飞出的条件．

解答 解：（1）设质子从左侧O₁点射入的速度为v₀，极板长为L，在复合场中作匀速运动，电场力等于洛伦兹力，则有q$\frac{U}{2R}$=qv₀B ①
质子在电场中作类平抛运动，设类平抛运动的时间为t，则
  L-2R=v₀t  ②
  R=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$ ③
又L=v₀t₀  ④
撤去磁场后仅受电场力，有R=$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$ ⑤
解得t=$\frac{{t}_{0}}{2}$，L=4R，v₀=$\frac{4R}{{t}_{0}}$，U=$\frac{8{R}^{2}B}{{t}_{0}}$
（2）质子从极板间飞出时的沿电场方向分速度大小
   v_y=$\frac{qE}{m}t$
由③得v_y=$\frac{2R}{t}$=v₀ ⑥
则从极板间飞出时的速度大小v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\frac{4\sqrt{2}R}{{t}_{0}}$ ⑦
（3）设质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，质子恰好从上极板左边缘飞出时速度的偏转角为α，由几何关系可知：
  β=π-α=45°，r+$\sqrt{2}$r=R  ⑨
因为$R=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$，所以$\frac{qE}{m}=\frac{q{v}_{0}B}{m}=\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$  ⑩
根据向心力公式 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得 v=$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$
所以，质子两板左侧间飞出的条件为 0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$
答：（1）两极板间电压U是$\frac{8{R}^{2}B}{{t}_{0}}$；
（2）质子从极板间飞出时的速度大小是$\frac{4\sqrt{2}R}{{t}_{0}}$．
（3）射入的速度应满足0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$．

点评 考查粒子做匀速直线运动、类平抛运动与匀速圆周运动的处理方法，掌握运动学公式与牛顿第二定律的综合应用，理解几何关系的正确使用．