Question

19．如图所示，在光滑水平桌面上，物体A和B用轻弹簧连接，另一物体C靠在B左侧未连接，它们的质量分别为m_A=0.2kg，m_B=m_C=0.1kg．现用外力将B、C和A压缩弹簧（弹簧仍在弹性限度内），外力做功W=7.2J，然后由静止释放．
试求：（1）弹簧伸长最大时弹簧的弹性势能；
（2）弹簧从伸长最大回复到自然长度时，A，B速度的大小．

Answer 1

分析 （1）三个物体及弹簧组成的系统外力之和为零，系统的动量和机械能都守恒，由两大守恒定律列式求出弹簧第一次恢复原长时A、B和C的速度．弹簧恢复原长后，C将与B分开而向左做匀速直线运动．物体A、B在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A的动量大，故在相同的冲量作用下，B先减速至零然后向右加速，此时A 的速度向右且大于B 的速度，弹簧继续拉伸，直至A、B 速度相等，弹簧伸长最大，再由两大守恒定律求解弹簧拉伸量最大时的弹性势能．
（2）对A、B组成的系统，再根据动量守恒定律和机械能守恒定律求弹簧从伸长最大回复到自然长度时A，B速度．

解答 解：（1）在释放弹簧的过程中，系统的合外力为零，故系统的动量守恒，机械能也守恒．
在弹簧第一次恢复原长时，设物体B、C 具有相同的速度v_BC，物体A 的速度为v_A，取水平向右为正，弹簧从静止释放到第一次恢复原长的过程，由动量守恒定律得：
  m_Av_A+（m_B+m_C）v_BC=0…①
由机械能守恒定律得：
  W=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$（m_B+m_C）v_BC²…②
解得：v_A=6m/s，v_BC=-6m/s
此后物体C将与B分开而向左做匀速直线运动．物体A、B在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A的动量大，故在相同的冲量作用下，B先减速至零然后向右加速，此时A 的速度向右且大于B 的速度，弹簧继续拉伸，直至A、B 速度相等，弹簧伸长最大，设此时A、B 的速度为v．由动量守恒定律得：
  m_Av_A+m_Bv_BC=（m_A+m_B）v…③
由机械能守恒得 $\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_BC²=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v²+E_弹…④
解得：v=2m/s，E_弹=4.8J
（2）设弹簧从伸长最大回复到自然长度时A，B速度分别为v₁和v₂．
由动量守恒定律得：
  m_Av₁+m_Bv₂=（m_A+m_B）v…④
由机械能守恒得 $\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v²+E_弹…⑤
 解之得：v₁=6m/s，v₂=-6m/s
或v₁=-2m/s，v₂=10m/s
答：
（1）弹簧的拉伸量最大时的弹性势能是4.8J．
（2）弹簧从伸长最大回复到自然长度时，A，B速度的大小分别为6m/s和6m/s或2m/s和10m/s．

点评 本题一要分析物体的运动过程，二要抓住弹簧弹性最大的临界条件：A、B速度相同，本题是系统动量和机械能均守恒的类型．