Question

12．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放-个小球（引力视为恒力），落地时间为t₁；宇航员在该行星“赤道”距该行星地面附近h处自由释放-个小球（引力视为恒力），落地时间为t₂．则行星的半径R的值（　　）

• A． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• B． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• C． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• D． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动的规律求出该行星地面附近的重力加速度；
在该行星“赤道”处物体做圆周运动需要的向心力等于万有引力与该位置重力之差列出等式求解；

解答 解：宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放-个小球（引力视为恒力），落地时间为t₁；
h=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$
g=$\frac{2h}{{t}_{1}^{2}}$
宇航员在该行星“赤道”距该行星地面附近h处自由释放-个小球（引力视为恒力），落地时间为t₂．
h=$\frac{1}{2}$g′${t}_{2}^{2}$
g′=$\frac{2h}{{t}_{2}^{2}}$
在该行星“赤道”处物体做圆周运动需要的向心力等于万有引力与该位置重力之差列出等式
m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=mg-mg′
解得：R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
故选：C．

点评 本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．