Question

如图所示，一质量为m的物体（可以看做质点），静止地放在动摩擦因素为μ水平地面上，物体的初始位置在A处，离A处2R的B处固定放置一竖直光滑半圆形轨道，轨道的半径为R，最低点与地面相切；空中有一固定长为

3R

2

木板DE，E与轨道最高点C的正下方水平距离为

R

2

，竖直距离为

R

2

，现给物体施加一水平方向、大小为F的恒力，运动一段距离R后撤去恒力F，假设物体能够达到B点，重力加速度为g，求：
（1）物体到达B点的速度大小？
（2）物体如能通过最高点C，则经过C点的最小速度大小为多少？
（3）物体要经过C点打到木板DE上，讨论F的取值范围？

Answer 1

（1）物体从A运动到B过程由动能定理有：
-μmg2R+FR=

1

2

mvB2-0┅┅①
得物体到达B点的速度大小vB=

2FR m -4μgR

（2）当物体恰好经过C点时，设其速度为v_c1有
mg=

mvc12

R

┅┅②
  解得：vc1=

gR

 ③
物体经过C点的最小速度大小为

gR

（3）物体恰好经过C点时，从C飞出做平抛运动，有
v_c1t=x┅┅④

1

2

gt2=

R

2

┅┅⑤
由③④⑤得x=R＞

R

2

且小于x＜

3R

2

+

R

2

=2R，物体能落在木板DE上 
物体从A到C过程有：
F₁R-μmg2R-mg2R=

1

2

mvc12┅┅⑥
由③⑥得：F₁=(2μ+

5

2

)mg
当物体以速度为v_c2从C点抛出恰好到达D点，则
vc2t=

3R

2

+

R

2

┅┅⑦

1

2

gt2=

R

2

┅┅⑧
物体从A到C过程，有F₂R-μmg2R-mg2R=

1

2

mvc22┅┅⑨
由⑦⑧⑨得：F₂=（2μ+4）mg
要使物体经过C点打到DE上，则F的取值范围为：
(2μ+

5

2

)mg≤F≤(2μ+4)mg
答：（1）物体到达B点的速度大小为

2FR m -4μgR

；
（2）物体如能通过最高点C，则经过C点的最小速度大小为

gR

；
（3）物体要经过C点打到木板DE上，F的取值范围为(2μ+

5

2

)mg≤F≤(2μ+4)mg．