题目内容
如图所示，在以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内，有一磁场方向垂直于xOy坐标平面、磁感应强度为B的匀强磁场．一带正电的粒子（不计重力）以速度为v0从原点O沿x轴正向进入磁场，带电粒子恰好不能飞出磁场．求：（1）磁场的方向和粒子的比荷．
（2）若将上述粒子的入射点上移至y轴上的A点，将粒子仍以速度v0平行x轴正向射入磁场，若要粒子射出磁场区域后不能通过y轴，则OA的距离至少为多少？
（3）若将上述粒子的入射点上移至y轴上的M点，仍将粒子以速度v0平行x轴正向射入磁场，已知带电粒子通过了磁场边界上的P点，且P点的x值为+
| R | 4 |
分析：（1）磁场的方向由左手定则判断；据题，带电粒子恰好不能飞出磁场，说明粒子的轨迹恰好与磁场边界相切，作出轨迹，根据几何知识得到轨迹的半径，即可根据牛顿第二定律求出粒子的比荷．
（2）若要粒子射出磁场区域后不能通过y轴，则在磁场区域粒子最多运动四分之一周期．画出轨迹，由几何知识求解．
（3）画出轨迹，根据数学知识求出轨迹所对应的圆心角α，由t=
T求解时间．
（2）若要粒子射出磁场区域后不能通过y轴，则在磁场区域粒子最多运动四分之一周期．画出轨迹，由几何知识求解．
（3）画出轨迹，根据数学知识求出轨迹所对应的圆心角α，由t=
| α |
| 2π |
解答：解：（1）由左手定则可知：匀强磁场的磁感应强度的方向垂直于纸面向里．
设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的半径为r由题意有：R=2r ①
qBv0=m
②
解①②得：
=
③
（2）若要粒子射出磁场区域后不能通过y轴，则在磁场区域粒子最多运动四分之一周期．则由图乙有：
sinα=
=
，α=30° ④
则 OA=Rcosα-r ⑤
解④⑤得：
OA=
R
（3）设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的圆心为O′，过P作y轴垂线得垂足为Q由图丙有：
sinθ=
=
，
则得 θ=
⑥
设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的周期和运动时间分别为T，t1则
T=
⑦
t1=
T ⑧
设粒子出磁场后从P至N做匀速运动时间为t2则
tanθ=
⑨
t2=
⑩
粒子自M至N运动的时间 t=t1+t2
解⑥⑦⑧⑨⑩得：t=
答：（1）匀强磁场的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，粒子的比荷为
=
．
（2）OA的距离至少为
R．
（3）粒子自M至N运动的时间为
．
设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的半径为r由题意有：R=2r ①
qBv0=m
| ||
| r |
解①②得：
| q |
| m |
| 2v0 |
| BR |
（2）若要粒子射出磁场区域后不能通过y轴，则在磁场区域粒子最多运动四分之一周期．则由图乙有：
sinα=
| ||
| R |
| 1 |
| 2 |
则 OA=Rcosα-r ⑤
解④⑤得：
OA=
| ||
| 2 |
（3）设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的圆心为O′，过P作y轴垂线得垂足为Q由图丙有：
sinθ=
| ||
|
| 1 |
| 2 |
则得 θ=
| π |
| 6 |
设粒子在磁场区域做匀速圆周运动的周期和运动时间分别为T，t1则
T=
| 2πr |
| v0 |
t1=
| π-θ |
| 2π |
设粒子出磁场后从P至N做匀速运动时间为t2则
tanθ=
| PN |
| r |
t2=
| PN |
| v0 |
粒子自M至N运动的时间 t=t1+t2
解⑥⑦⑧⑨⑩得：t=
(5π+2
| ||
| 12 |
| R |
| v0 |
答：（1）匀强磁场的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，粒子的比荷为
| q |
| m |
| 2v0 |
| BR |
（2）OA的距离至少为
| ||
| 2 |
（3）粒子自M至N运动的时间为
(5π+2
| ||
| 12 |
| R |
| v0 |
点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．
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