Question

【题目】如图所示，虚线小方框是由个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为，极板间距为（）。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接，电池电动势恒定、大小为。忽略电容器的边缘效应，静电力常量已知。

（1）若将虚线小方框中标有的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为2d，求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。

（2）在电容器a两极板的距离变为后，再将一块与电容器的极板形状相同、面积也为、带电荷量为（）的金属薄板沿平行于的极板方向全部插入到电容器中，使金属薄板距电容器左极板的距离为。求此时电容器的左极板所带的电荷量。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容满足下式

①

即

②

式中

③

虚线大方框中无限网络的等效电容满足下式

④

即

⑤

整个电容网络的等效电容为

⑥

等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）

⑦

当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效电容满足下式

⑧

由此得

⑨

整个电容网络的等效电容为

⑩

整个电容网络的等效电容器带的电荷量为

在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变为

电容器储能变化为

在此过程中，电池所做的功为

外力所做的功为

（2）设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为，金属薄板左侧带电荷量为，右侧带电荷量为，a的右极板带电荷量为，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为和.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有

由（2）式和上式得

上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.

整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即

将②、⑤和式代入式得电容器a左极板带电荷量