Question

如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上。现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射。当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b。试近似地求出玻璃的折射率n。

Answer 1

本题考查几何光学，首先画出光路图，由几何关系求解
入射的两条光线如图所示。α₁、β₁是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折射角；α₂、β₂是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有
nsinα₁=sinβ₁                                                           (1)
sinα₂=nsinβ₂                                                           (2)
由几何关系有β₁=α₁+δ₁                                                  (3)
α₂=β₂+δ₂                                                              (4)
设球面的半径为R，注意到α₁、α₂、δ₁、δ₂都是小角度，故有Rα₁=aδ₁       (5)
Rα₂=bδ₂                                                                (6)
根据题给的条件，(1)、(2)式可近似表示成nα₁=β₁                          (7)
α₂=nβ₂                                                                 (8)
由(3)式?(8)式得                                                   (9)