Question

如图所示，在一个倾角为θ=37°（cos37°=0.8）的斜面上，O点固定一根细绳，细绳另一端连接一个质点．现将质点放到斜面上P点，由静止释放，已知OP连线水平且间距为绳长，质点滑动到细绳转过角度α=90°的位置时刚好停止．问：
（1）质点与斜面间动摩擦因数μ为多少？
（2）试描述质点放到斜面上哪些位置时可以平衡？已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．

Answer 1

分析：（1）对从P点到最低点过程运用动能定理列式分析求解即可；
（2）对小球受力分析，重力、支持力、摩擦力、拉力，重力和支持力的合力为mgsinθ，平行斜面向下，为恒力；拉力和静摩擦力垂直，根据三角形定则进行分析即可．

解答：解：（1）将重力分解为下滑分力和垂直斜面分力，有
G₁=mgsinθ
G₂=mgcosθ
由于物体在垂直斜面方向无滑动，受力平衡，故
N=G₂=mgcosθ                      （1）
则物体所受的滑动摩擦力
f=μN=mgcosθ                      （2）
在物体摆动90度的过程中，由动能定理，有
mgsinθ?L-f?

π

2

L=0-0          （3）
由（2）（3）可得：
μ=

2tanθ

π

=

3

2π

                    （4）

（2）根据上问数据可知
f＜G₁
所以如果没有细绳物体不可能在斜面上平衡，所以物体平衡时应该使细绳拉紧，物体首先应停在斜面上以O为圆心，绳子长为半径的圆上．
假设物体处于临界平衡状态，摩擦力为最大静摩擦力f，设此时细绳与OP夹角α₀，由物体平衡，三力合力为零，固有
cosα0=

f

G1

=

μ

tanθ

=

2

π

                （5）
综上所述，物体能够平衡的位置为以O为圆心，下方使得细绳与OP夹角α取值范围为：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]
答：（1）质点与斜面间动摩擦因数μ为

3

2π

；
（2）物体能够平衡的位置为以O为圆心，下方使得细绳与OP夹角α取值范围为：[arccos

2

π

，π-arccos

2

π

]．

点评：本题关键在于力不共面，可以先将重力按照作用效果正交分解，分解为平行斜面和垂直斜面的两个分力，然后将四个力平衡转变为熟悉的三力平衡问题．