Question

8．如图所示，某放射源放出的带电粒子经过某种方式筛选后，得到一束从原点O处沿同一方向射入第一象限，质量均为m，电量均为+q的粒子，粒子初速度方向与x轴成θ角，但初速度大小从0到v₀之间的值都有．在整个第一象限加上沿y轴负方向，大小为E的匀强电场，忽略重力以及粒子之间的作用力．
（1）初速度为v₀的粒子轨迹顶点坐标；
（2）若在第一象限部分区域保留电场，其余部分电场都舍去，则可让所有粒子通过保留电场区域后速度方向均沿x轴正方向．请写出最小保留区域边界方程，并在图中大致画出；
（3）若还要将（2）问中所有粒子汇聚在x轴上距原点O为L（足够远）的P点，在第一象限还应保
留哪一部分面积最小的匀强电场区域，请简要说明并在图中大致画出．保留必要的电场后，不同初速度的粒子从O运动到P的时间不同，求出这些时间中的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中沿y轴方向做匀减速运动，x轴方向做匀速直线运动，根据运动的合成与分解求得轨迹顶点的位置坐标；
（2）电场的上边界为最大速度时对应的轨迹方程（从出发到顶点部分），下边界由不同速度的粒子顶点构成的方程；
（3）粒子在同一点射出，根据粒子在电场中运动的对称性得出第一象限保留的电场区域面积，粒子在电场中水平方向的速度大小不变，故粒子运动最短时间对应粒子速度最大时的运动时间，根据速度时间关系求解即可．

解答 解：（1）初速度为v₀的粒子到达顶点时
竖直方向：$\frac{qE}{m}t={v}_{0}sinθ$，
纵坐标为：y=$\frac{{v}_{0}sinθ}{2}t$=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$
水平方向：横坐标为：x=v₀cosθ•t=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$
（2）每个粒子只要是在自己轨迹顶点出电场，即可水平出射，即：电场区域的下边界由所有粒子轨迹定点构成，由（1）得：轨迹定点坐标为：
y=$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$，x=$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，
因为初速度v₀为变量参数，故两式消去v₀得顶点轨迹（电场区域下边缘）方程为：
$y=\frac{sinθ}{2cosθ}x$=$\frac{tanθ}{2}x$
电场区域上边缘方程，为初速度为v₀的粒子轨迹方程（从出发到顶点部分）：
t时刻粒子坐标为：x=v₀tcsoθ，y=${v}_{0}tsinθ-\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
两式中消去时间t得：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
综上：电场区域上边界方程为：$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$
电场区域下边界方程为：y=$\frac{tanθ}{2}x$
分布如图所示：

（3）在电场中只受电场力运动的对称性可知，要将所有已水平向右出射的粒子全部集中于P点，只需将（2）中的电场区域关于x=$\frac{L}{2}$对称过去即可．
因为每个粒子水平方向一直都在做匀速直线运动，且水平位移都为L，故水平速度最大的时间最短，即初速度为v₀的粒子运动时间最短，最短时间为：
${t}_{min}=\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$
公布如下图所示：

答：（1）初速度为v₀的粒子轨迹顶点坐标为（$\frac{m{v}_{0}^{2}sinθcosθ}{qE}$，$\frac{m（{v}_{0}sinθ）^{2}}{2qE}$）；
（2）若在第一象限部分区域保留电场，其余部分电场都舍去，则可让所有粒子通过保留电场区域后速度方向均沿x轴正方向．最小保留区域上边界方程为$y=xtanθ-\frac{qE}{2m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}θ}{x}^{2}$，下边界方程为y=$\frac{tanθ}{2}x$，大致如上图所示；
（3）若还要将（2）问中所有粒子汇聚在x轴上距原点O为L（足够远）的P点，在第一象限还应保
留哪一部分面积最小的匀强电场区域，请简要说明并在图中大致画出．保留必要的电场后，不同初速度的粒子从O运动到P的时间不同，这些时间中的最小值为$\frac{L}{{v}_{0}cosθ}$．

点评 弄清粒子在电场中的运动规律作出粒子可能的运动轨迹是正确处理问题的关键，注意粒子只在电场力作用下的对称性是解决问题的关键．