Question

9．如图所示，在xoy平面坐标系中，x轴上方存在电场强度E=1000v/m、方向沿y轴负方向的匀强电场；在x轴及与x轴平行的虚线PQ之间存在着磁感应强度为B=2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场宽度为d．一个质量m=2×10^-8kg、带电量q=+1.0×10^-5C的粒子从y轴上（0，0.04）的位置以某一初速度v₀沿x轴正方向射入匀强电场，不计粒子的重力． 
（1）若v₀=200m/s，求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
（2）要使以大小不同初速度射入电场的粒子都能经磁场返回，求磁场的最小宽度d；
（3）要使粒子能够经过x轴上100m处，求粒子入射的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）带电粒子垂直进入电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和分运动公式求粒子第一次进入磁场时速度v的大小和方向；
（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径r．当初速度为0时粒子最容易穿过磁场． 要使以大小不同初速度射入电场的粒子都能经磁场返回，磁场的最小宽度d=r．
（3）对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，根据几何知识得出弦长表达式，再求解粒子能够经过x轴上100m处时初速度表达式．

解答 解：（1）带电粒子垂直进入电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律得：
Eq=ma                          
根据运动学公式有：
y=$\frac{1}{2}$at²        
联立解得：a=5×10⁵m/s²，t=4×10^-4s          
粒子刚进入磁场时竖直分速度大小为：
v_y=at=5×10⁵×4×10^-4=200m/s                         
根据几何关系有：v²=v₀²+v_y²
tanα=$\frac{v_y}{v_0}$
代入数据解得：v=200$\sqrt{2}$m/s，与x轴成45°角  
（2）当初速度为0时粒子最容易穿过磁场．     
根据Bqv=$m\frac{v_y^2}{r}$得：r=0.2m            
要使所有带电粒子都返回电场，磁场的最小宽度为：d=0.2m                                 
另解：Bqv=$m\frac{v^2}{r}$；$r=\frac{{m\sqrt{v_0^2+v_y^2}}}{qB}$
则得：$d=r-rcosθ=\frac{{m\sqrt{v_0^2+v_y^2}}}{qB}-\frac{{m{v_0}}}{qB}=\frac{m}{qB}\frac{v_y^2}{{\sqrt{v_0^2+v_y^2}+{v_0}}}$
当v₀=0时，d=0.2m                      
（3）对于不同初速度的粒子通过磁场的轨迹在x轴上的弦长不变，有：
x₁=2rsinα=2$\frac{mvsinθ}{qB}=2\frac{{m{v_y}}}{qB}=0.4m$
设粒子第n次经过x=100m处，则有：$\frac{n-1}{2}$x₁+nv₀t=x，n=2k+1（k=0，1，2，3，…）
则得：v₀=$\frac{{{{10}^4}（50.1-0.1n）}}{2n}$m/s，n=2k+1（k=0，1，2，3，…）  
或$\frac{n}{2}$x₁+（n-1）v₀t=x，n=2k（k=1，2，3，…）
解得：v₀=$\frac{{{{10}^4}（50-0.1n）}}{2（n-1）}$m/s，n=2k（k=1，2，3，…）      
答：（1）若v₀=200m/s，粒子第一次进入磁场时速度v的大小是200$\sqrt{2}$m/s，方向与x轴成45°角；
（2）要使以大小不同初速度射入电场的粒子都能经磁场返回，磁场的最小宽度d是0.2m；
（3）要使粒子能够经过x轴上100m处，粒子入射的初速度v₀是$\frac{{{{10}^4}（50.1-0.1n）}}{2n}$m/s，n=2k+1（k=0，1，2，3，…） 或$\frac{{{{10}^4}（50-0.1n）}}{2（n-1）}$m/s，n=2k（k=1，2，3，…）．

点评 带电粒子在电场中运动偏转时，常用运用运动的合成与分解来研究．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．