Question

5．一新车型赛车沿倾角为θ=37°的专用长斜坡测试道进行测试，该车总质量为m=1t，由静止开始沿长斜坡向上运动，传感设备记录其运动的速度-时间图象（v-t图象）如图．该车运动中受到的摩擦阻力（含空气阻力）恒定，且摩擦阻力跟对路面压力的比值为μ=0.25.0～5s的v-t图线为直线，5s末起达到该车发动机的额定牵引功率并保持该功率行驶，在5s～20s之间，v-t图线先是一段曲线，后为直线．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）该车发动机牵引力的额定功率；
（2）车的最大速度v_m；
（3）该车出发后前20s的位移．

Answer 1

分析 （1）汽车保持恒定功率运动，当功率达到额定功率时，该做变减速直线运动，当牵引力与阻力相等时，速度达到最大，做匀速直线运动，结合0-5s内图线求出加速度的大小，根据牛顿第二定律，结合功率与牵引力的关系求出发动机的额定功率．
（2）当牵引力等于阻力时，速度达到最大，根据阻力的大小求出最大速度的大小．
（3）5-20s内发动机的功率不变，结合动能定理求出5-20s内的位移，再通过前5s内匀加速直线运动的位移得出该车出发后前20s内的位移．

解答 解：（1）0s-5s赛车作匀加速运动，其加速度：$a=\frac{△v}{△t}=\frac{20}{5}$m/s=4m/s²　　…①
由牛顿定律：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma…．②
5s末：P=Fv₁（其中v₁=20m/s） …..③
综合①②③，代入数据：F=1.2×10⁴N
功率：P=2.4×10⁵W=240kW；
（2）匀速运动时功率恒定，牵引力F′满足：F'=mgsinθ+μmgcosθ…④
由P=F'v_m…⑤
综合④⑤，代入数据：v_m=30m/s；
（3）前5s：s₁=$\frac{v_1}{2}{t_1}=50$m …⑥
5s～20s的t₂=15s内，车已经达到了最大速度，
由动能定理：$P{t_2}-mg{s_2}sinθ-μmgcosθ•{s_2}=\frac{1}{2}m{v_m}^2-0$…⑦
代入数据解得：${s_2}=\frac{{P{t_2}-\frac{1}{2}m{v_m}^2}}{mg（sinθ+μcosθ）}$即：s₂=393.75m，
总位移：s=s₁+s₂=443.75m；
答：（1）该车发动机牵引力的额定功率为240kW；
（2）车的最大速度v_m为30m/s；
（3）该车出发后前20s的位移为443.75m．

点评 本题是个多过程问题，关键理清各个过程中的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律、运动学公式综合求解．