Question

7．如图所示为“中国月球探测工程”的想象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验：
在距月球表面高h处以初速度v₀水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x．通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：
（1）月球的质量M；
（2）月球的密度ρ；
（3）环绕月球表面的宇宙飞船的运行速率v₁．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求出月球表面的重力加速度，结合万有引力等于重力求出月球的质量．
（2）根据月球的质量和体积求出月球的密度．
（3）根据重力提供向心力求出环绕月球表面做圆周运动的线速度大小．

解答 解：（1）设月球表面的重力加速度为g_月，对平抛运动在水平方向有：x=v₀t
竖直方向有：$h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
月球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$
解得：$M=\frac{{2hv_0^2{R^2}}}{{G{x^2}}}$．
（2）月球的质量为：$M=ρ•\frac{4}{3}π{R^3}$
可得密度：$ρ=\frac{3hv_0^2}{{2πGR{x^2}}}$
（3）环绕月球表面的宇宙飞船，有：$m{g_月}=m\frac{v_1^2}{R}$
可得：${v_1}=\frac{v_0}{x}\sqrt{2hR}$．
答：（1）月球的质量为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{x}^{2}}$；
（2）月球的密度ρ为$\frac{3h{{v}_{0}}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$；
（3）环绕月球表面的宇宙飞船的运行速率为$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

点评 本题考查了万有引力定律与平抛运动的综合，通过平抛运动求出重力加速度是解决本题的关键，掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用．