题目内容

11．如图所示，一足够长的矩形区域abcd有竖直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在ad边中点O处，垂直磁场射入速度为v0的带正电的粒子，射入方向与ad边的夹角为θ=30°，已知粒子质量为m，电荷量q，ad边长为L，ab边足够长，粒子的重力不计，求：
（1）粒子能从ab边射出磁场的速度v0的大小范围．
（2）粒子从O点射入到离开ab边射出磁场的时间范围．

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与ab边相切时，轨迹半径最小，对应的速度最小．当其轨迹恰好与cd边相切时，轨迹半径最大，对应的速度最大，由几何知识求出，再牛顿定律求出速度的范围．
（2）粒子轨迹所对圆心最大时，在磁场中运动的最长时间．当其轨迹恰好与ab边相切或轨迹更小时，时间最长，求出圆心角，再求时间．

解答 解：（1）粒子轨迹如图所示，
对圆O1，由几何关系知：
$\frac{1}{2}$L+R1sin30°=R1，解得：R1=L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：v0=$\frac{qBL}{m}$，
对圆O2，由几何关系知：R2+R2sin30°=$\frac{1}{2}$L，解得：R2=$\frac{1}{3}$L，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：v0=$\frac{qBL}{3m}$，
则：$\frac{qBL}{3m}$≤v0≤$\frac{qBL}{m}$范围的粒子可从ab边射出；
（2）由图可知圆O1对应的圆心角150°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的运动时间：t1=$\frac{5}{12}$T=$\frac{5πm}{6qB}$，
圆O2对应的圆心角240°，对应的时间t2=$\frac{2}{3}$T=$\frac{4πm}{3qB}$，
粒子运动的时间范围：$\frac{5πm}{6qB}$≤t≤$\frac{4πm}{3qB}$；
答：（1）粒子能从ab边射出磁场的速度v0的大小范围是：$\frac{qBL}{3m}$≤v0≤$\frac{qBL}{m}$．
（2）粒子从O点射入到离开ab边射出磁场的时间范围是：$\frac{5πm}{6qB}$≤t≤$\frac{4πm}{3qB}$．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般步骤是：
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．

练习册系列答案
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