Question

15．某农田自动灌溉的喷射装置的截面图如图所示，它主要由水泵、竖直的细输水管道和喷头组成，喷头的喷嘴（长度可忽略不计）离地面的高度为h．水泵启动后，水从水池通过输水管道压到喷嘴并沿水平方向喷出，在地面上的落点与输水管道中心的水平距离为R，此时喷嘴每秒喷出水的质量为m₀，整个供水系统的效率恒为η．忽略水池中水泵与地面的高度差，不计水进入水泵时的速度以及空气阻力，重力加速度为g．
（1）求水从喷嘴喷出时的速度v；
（2）求水泵的功率p；
（3）若要浇灌离输水管道中心R₁处的蔬菜，求此时喷嘴每秒钟喷出水的质量m₁．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，求出水从喷嘴喷出时的速率．
（2）水泵所做的功与效率的乘积等于水动能和重力势能的增加，根据能量守恒求出水泵的功率P．
（3）根据平抛运动的规律求出平抛运动的初速度，从而通过密度公式，求出单位时间内喷出水的质量．根据能量守恒求出水泵的功率．

解答 解：（1）水从喷嘴喷出后作平抛运动，
水平方向：R=vt，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v=R$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）设在△t时间内出水质量为m，
由能量守恒定律得：ηP△t=$\frac{1}{2}$mv²+mgh，
且有：m₀=$\frac{m}{△t}$，
解得：P=$\frac{{m}_{0}g（{R}^{2}+4{h}^{2}）}{4hη}$；
（3）设水的密度为ρ，速度为v₁，喷嘴的横截面积为S，
则：m₀=ρSv，m₁=ρSv₁
由平抛运动有 R₁=v₁t，h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：m₁=$\frac{{R}_{1}}{R}$m₀；
答：（1）水从喷嘴喷出时的速度v为R$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）水泵的功率P为$\frac{{m}_{0}g（{R}^{2}+4{h}^{2}）}{4hη}$；
（3）若要浇灌离输水管道中心R₁处的蔬菜，此时喷嘴每秒钟喷出水的质量m₁为$\frac{{R}_{1}}{R}$m₀．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律．以及能够灵活运用能量守恒定律进行求解．