Question

有两个完全相同的小滑块A和B,A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰,碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线,如图所示.

（1）已知小滑块质量为m,碰撞时间为Δt,求碰撞过程中A对B平均冲力的大小；

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速度下滑的运动,特制做一个与B平抛轨迹完全相同的光滑轨道,并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置,让A沿该轨道无初速下滑（经分析,A下滑过程中不会脱离轨道）.

a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量p_A与B平抛经过该点的动量p_B的大小关系;

b.在OD曲线上有一点M,O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.

Answer 1

答案   （1）（2）a.pA<pBb.vAx=v0vAy=v0

解析   （1）滑块A与B正碰,满足

mvA+mvB=mv0                         ①

mvA2+mvB2=mv02                      ②

由①②,解得vA=0,vB=v0,

根据动量定理,滑块B满足F·Δt=mv0

解得F=.

（2）a.设任意点到O点竖直高度差为d.

A、B由O点分别运动至该点过程中,只有重力做功,所以机械能守恒.

选该任意点为势能零点,有

EkA=mgd,EkB=mgd+mv02

由于p=,有

即pA＜pB

故A下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量.

b.以O为原点,建立直角坐标系xOy,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向下,则对B有x=v0t,y=gt2

B的轨迹方程 y=x2

在M点x=y,所以y=              ③

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线,故在任意一点,两者速度方向相同.设B水平和竖直分速度大小分别为

vBx和vBy,速率为vB;A水平和竖直分速度大小分别为vAx和vAy,速度为vA,则

,                                ④

B做平抛运动,故vBx=v0,vBy=,vB=     ⑤

对A由机械能守恒得vA=                     ⑥

由④⑤⑥得vAx=,vAy=

将③代入得vAx=v0    vAy=v0