题目内容
不可伸长的绝缘轻绳长为R，一端系于O点，另一端系一质量为m、电量为+q 的点电荷，点电荷可在xoy平面内绕O点做半径为R的圆周运动，如图甲所示，本题计算中忽略点电荷的重力．
（1）当点电荷以速率v0沿+y方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿x轴正方向的匀强电场E0，如图乙所示，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度E0需满足何条件？
（2）在（1）问中，其他条件不变，将空间中的电场用垂直xoy平面向里的匀强磁场B0代替，如图所示，要使点电荷仍能做半径为R的圆周运动，磁感应强度B0需满足何条件？
（3）变化的磁场周围可以激发感生电场，若上述磁场随时间均匀变化，会在点电荷运动的圆形轨道上产生一个环形电场，其电场线是闭合的，各点场强大小相等．现在空间加一垂直xoy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B变化情况如图丁所示，t=0时刻点电荷的速率为v0，轻绳一直处于伸直状态．试求0～T时间内，轨道中形成的感生电场E感的大小，并在图戊中作出点电荷在0～5T时间内v～t图象，要求写出主要的分析过程．
（1）当点电荷以速率v0沿+y方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿x轴正方向的匀强电场E0，如图乙所示，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度E0需满足何条件？
（2）在（1）问中，其他条件不变，将空间中的电场用垂直xoy平面向里的匀强磁场B0代替，如图所示，要使点电荷仍能做半径为R的圆周运动，磁感应强度B0需满足何条件？
（3）变化的磁场周围可以激发感生电场，若上述磁场随时间均匀变化，会在点电荷运动的圆形轨道上产生一个环形电场，其电场线是闭合的，各点场强大小相等．现在空间加一垂直xoy平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B变化情况如图丁所示，t=0时刻点电荷的速率为v0，轻绳一直处于伸直状态．试求0～T时间内，轨道中形成的感生电场E感的大小，并在图戊中作出点电荷在0～5T时间内v～t图象，要求写出主要的分析过程．
分析：（1）要使点电荷能做完整的圆周运动，当点电荷运动到最左端绳子张力F≥0．先根据动能定理求出此时电荷的速度，由牛顿第二定律和向心力公式结合求E0需满足的条件．
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，由洛伦兹力与绳子拉力的合力提供向心力时，点电荷能做完整的圆周运动，绳子的拉力F′≥0，由牛顿第二定律列式求解．
（3）分四段时间分析，根据法拉第电磁感应定律求感生电动势，当感生电动势一定时，点电荷所受电场力大小一定，在圆形轨道上作匀加速圆周运动，由牛顿第二定律求出速度的表达式；当感生电动势为零时，点电荷不所受电场力，在圆形轨道上作匀速圆周运动．
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，由洛伦兹力与绳子拉力的合力提供向心力时，点电荷能做完整的圆周运动，绳子的拉力F′≥0，由牛顿第二定律列式求解．
（3）分四段时间分析，根据法拉第电磁感应定律求感生电动势，当感生电动势一定时，点电荷所受电场力大小一定，在圆形轨道上作匀加速圆周运动，由牛顿第二定律求出速度的表达式；当感生电动势为零时，点电荷不所受电场力，在圆形轨道上作匀速圆周运动．
解答：解：（1）分析可知，点电荷运动到最左端绳子张力最小，设此时速度大小为v
由动能定理-qE0-2R=
mv2-
m
在最左端时qE0+F=m
得F=
当F≥0时，点电荷能做完整圆周运动，解得E0≤
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，
对任一点进行受力分析有qv0B+F′=
得F′=
-qvoB
当F′≥0时，点电荷能做完整的圆周运动，解得B0≤
（3）0至T时间内磁场均匀变化，激发的感生电动势为E，则
E=
=S
=πR2
感生电场的场强 E感=
=
①0～T时间内，磁场均匀增加，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀加速圆周运动，加速度大小a=
=
经时间T后，速度大小v1=v0+aT=v0+
②T～2T时间内磁场不变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v1不变．
③2T～4T时间内磁场均匀减小，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀
减速圆周运动，加速度大小a′=
=
=
经时间2T后，v2=v1-a′（2T）=v0+
-
=v0
④4T～5T时间内磁场变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v0不变．
根据以上结果，作图如下．
答：
（1）电场强度E0需满足E0≤
．
（2）磁感应强度B0需满足得B0≤
．
（3）0～T时间内，轨道中形成的感生电场E感的大小为
．点电荷在0～5T时间内v～t图象如图所示．
由动能定理-qE0-2R=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
在最左端时qE0+F=m
| v2 |
| R |
得F=
m
| ||
| R |
当F≥0时，点电荷能做完整圆周运动，解得E0≤
m
| ||
| 5qR |
（2）磁场垂直纸面向内，对点电荷产生的洛伦兹力始终指向O点，
对任一点进行受力分析有qv0B+F′=
m
| ||
| R |
得F′=
m
| ||
| R |
当F′≥0时，点电荷能做完整的圆周运动，解得B0≤
| mv0 |
| qR |
（3）0至T时间内磁场均匀变化，激发的感生电动势为E，则
E=
| △φ |
| △t |
| △B |
| △t |
| (B1-B0) |
| T |
感生电场的场强 E感=
| E |
| 2πR |
| R(B1-B0) |
| 2T |
①0～T时间内，磁场均匀增加，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀加速圆周运动，加速度大小a=
| qE感 |
| m |
| qR(B1-B0) |
| 2mT |
经时间T后，速度大小v1=v0+aT=v0+
| qR(B1-B0) |
| 2m |
②T～2T时间内磁场不变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v1不变．
③2T～4T时间内磁场均匀减小，感生电场的场强大小一定，点电荷在圆形轨道上作匀
减速圆周运动，加速度大小a′=
| qE感 |
| m |
| qR(B1-B0) |
| 4mT |
| a |
| 2 |
经时间2T后，v2=v1-a′（2T）=v0+
| qR(B1-B0) |
| 4mT |
| qR(B1-B0) |
| 2m |
④4T～5T时间内磁场变，感生电场的场强为零，点电荷在圆形轨道上作匀速圆周运动，速率v0不变．
根据以上结果，作图如下．
答：
（1）电场强度E0需满足E0≤
m
| ||
| 5qR |
（2）磁感应强度B0需满足得B0≤
| mv0 |
| qR |
（3）0～T时间内，轨道中形成的感生电场E感的大小为
| R(B1-B0) |
| 2T |
点评：本题中带电粒子在复合场中做圆周运动时，关键要找出物理的“最高点”，分析临界条件，只要点电荷能通过此点，就能做完整的圆周运动，可与重力场中竖直平面内的圆周运动类比，运用动能定理和牛顿第二定律进行分析求解．
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、电量为
的点电荷，点电荷可在
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沿
方向通过A（R，0）点的瞬间，在空间中加沿
轴正方向的匀强电场
，如图乙所示，要使点电荷能做完整的圆周运动，电场强度需满足何条件？ 
平面向里的匀强磁场
代替，如图所示，要使点电荷仍能做半径为
的圆周运动，磁感应强度
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平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B变化情况如图丁所示，
时刻点电荷的速率为
，轻绳一直处于伸直状态。试求
时间内，轨道中形成的感生电场
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内
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