Question

7．一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭和．在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底，在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示，现有卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动．已知管筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大气压p₀=1.00×10⁵Pa．，（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s²．）求：
（1）管内水面上升的高度h₁与管外水面下降的高度h₂之比
（2）活寒上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功．

Answer 1

分析 解决本题需要掌握：液体压强的产生；正确判断活塞和液面之间是否出现真空；活塞上升过程分为两个过程，正确求出这两个过程中拉力做功；在求功过程中，对于变力做功，要正确应用功能关系求解．

解答 解：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为${h_0}=\frac{p_0}{ρg}=10m$的过程中，活塞始终与管内液体接触，设活塞上升距离为h₁，管外液面下降距离为h₂，
h₀=h₁+h₂…①
因液体体积不变，有：${h_2}={h_1}（\frac{{π{r^2}}}{{π{R^2}-πr}}）=\frac{1}{3}{h_1}$…②
得：${h_1}=\frac{3}{4}{h_0}=\frac{3}{4}×10m=7.5m$…③
题给H=9m＞h₁，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程．
活塞移动距离从零到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功，因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即：
 $△E=ρ（π{r^2}{h_1}）g\frac{h_0}{2}$…④
其他力有管内、外的大气压力的拉力F，因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功${p_0}π（{R^2}-{r^2}）{h_2}-{p_0}πr{h_1}=0$，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知W₁=△E…⑤
即 ${W_1}=ρ（π{r^2}）g\frac{3}{8}h_0^2=\frac{3}{8}π{r^2}\frac{p_0^2}{ρg}=1.18×{10^4}J$…⑥
活塞移动距离从h₁到H的过程中，液面不变，F是恒力F=πr²p₀，做功为：${W_2}=F（H-{h_1}）=π{r^2}{p_0}（H-{h_1}）=4.71×{10^3}J$…⑦
所求拉力F做的总功为：${W_1}+{W_2}=1.65×{10^4}J$…⑧
答：（1）管内水面上升的高度h₁与管外水面下降的高度h₂之比3：1．
（2）活寒上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功为1.65×10⁴J．

点评 本题涉及有关压强的运算，又涉及功能关系，而且过程比较复杂，尤其是要判断活塞和液面之间是否出现真空．无论多么复杂过程，都是由一些简单无论过程组成，要注重过程分析，正确选用所学规律进行求解．本题难度较大．