Question

16．如图所示，一个光滑圆筒直立于水平桌面上，圆筒的直径为L，一条长也为L的细绳一端固定在圆筒中心轴线上的O点，另一端拴一质量为m的小球．当小球以速率v绕中心轴线OO′在水平面内做匀速圆周运动时（小球和绳在图中都没有画出，但不会碰到筒底），求：
（1）当v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时绳对小球的拉力大小；
（2）当v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$时绳对小球的拉力大小．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：首先临界条件分析（当小球运动半径刚为为0.5L，即球与筒壁刚接触但筒壁刚好对小球无指向圆周运动中心的支持力）
则小球受绳子的拉力T，竖直向下的重力mg，绳子的水平分力提供向心力即：
竖直：Tcos30°=mg
水平：Tsin30°=$\frac{m{v}^{2}}{0.5L}$
解之得v²=$\frac{\sqrt{3}Lg}{6}$
（1）当v₁=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时，时，因为v₁＜v，所以小球没有贴着筒壁而做半径较小的圆周运动，圆筒壁对小球的支持力N₁=0．
设此时绳与竖直方向夹角为α，
则：T₁sinα=m$\frac{{v}^{2}}{Lsinα}$
T₁cosα=mg，
解得：T₁≈1.09mg
（2）当v₂=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$时，因为v₂＞v₀，所以小球紧挨着内壁作匀速圆周运动，受到重力、细绳的拉力和筒壁的弹力，其合力提供向心力，则得：
竖直方向有：T₂cosα=mg
水平方向有：T₂sinα+N₂=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{Lsinα}$
解得：T₂=1.15 mg．
答：（1）当v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时绳对小球的拉力大小为1.09mg；
（2）当v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$时绳对小球的拉力大小为1.15 mg．

点评 本题要注意判断筒壁对球有无弹力，分析向心力来源，再运用牛顿第二定律求解，难度适中．