Question

16．某双星系统由两个质量分别为m₁和m₂的恒星组成，它们在相互引力的作用下，绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，已知两恒星之间的距离为L，万有引力常量为G，试求恒星m₁的轨道半径和线速度大小．

Answer 1

分析 两颗恒星都做匀速圆周运动，两颗恒星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解两星体绕共同圆心做匀速圆周运动的轨道半径之比，结合两星体中心距离为L，求解出半径，然后进一步根据万有引力定律提供向心力列式求出线速度．

解答 解：两颗恒星都做匀速圆周运动，两颗恒星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
对m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$①
对m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$②
故：m₁r₁=m₂r₂
由于r₁+r₂=L，解得：
r₁=$\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$④
对于m₁有$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${v}_{1}={m}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{m}_{1}+{m}_{2}）L}}$
答：恒星m₁的轨道半径为$\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，线速度大小为${m}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{m}_{1}+{m}_{2}）L}}$．

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：角速度和周期相同．