Question

13．（12分） 万有引力定律的发现是17世纪最伟大的物理成就之一。牛顿通过下述两个步骤完成了万有引力定律的数学推导。

(1)在前人研究的基础上，牛顿证明了“行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳之间的距离的二次方成反比”。

(2)据牛顿第三定律，牛顿提出：“既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比”。

请你根据上述推导思路，完成万有引力定律数学表达式的推导。(注意：要说明各个字母的含义及推导依据)

Answer 1

解： 设行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星引力F提供行星做圆周运动的向心力，即  F=mv²/r

式中r是太阳和行星间的距离，v是行星运动的线速度，m是行星的质量。

设行星运动周期为T，则有  v=2πr/T

代入上式得 

由开普勒定律知   r³/T²是个常数，

所以引力F和行星质量m成正比，和行星到太阳的距离的二次方成反比

根据牛顿第三定律知引力F也和太阳的质量成正比。

设太阳的质量为M，则有F∝

写成等式就是  F=，G是常量