题目内容
如图（a）所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘板的中心O的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半．绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻质弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上．边界GH左边存在着正交的匀强电场和变化的磁场，电场强度为E，磁感应强度变化情况如图（b）所示，磁感应强度大小均为B．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速滑过平台后在t=0时刻垂直于边界GH进入复合场中，设小球刚进入复合场时磁场方向向外且为正值．小球做圆周运动至O点处恰好与绝缘板发生弹性碰撞，碰撞后小球立即垂直于边界GH返回并滑上低一级平台，绝缘板从C开始向右压缩弹簧的最大距离为S到达D，求：
（1）磁场变化的周期T．
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v．
（3）绝缘板的质量M．
（4）绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能EP．
（1）磁场变化的周期T．
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v．
（3）绝缘板的质量M．
（4）绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能EP．
分析：（1）带电小球进入复合场做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，可得到场强．小球在t=
T时刻进入复合场，与物块碰后做匀速圆周运动，恰能垂直于边界GH返回低一级平台上，返回低一级台阶的过程，磁场方向与小球进入复合场时磁场方向相反，说明小球从高一级平台进入复合场到与物块碰撞经过的时间等于
，由小球做匀速圆周运动的周期公式T′=
即可求出交变磁场变化的周期T；
（2）小球在复合场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
（3）小球与绝缘板的碰撞是弹性碰撞，系统动量守恒，机械能也守恒，根据守恒定律列方程后联立求解即可；
（4）根据牛顿第二定律求出小球与物块碰后的速率，根据能量守恒求出物块获得的动能，并由能量守恒求解绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能Ep．
| 1 |
| 4 |
| T |
| 4 |
| 2πm |
| qB |
（2）小球在复合场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
（3）小球与绝缘板的碰撞是弹性碰撞，系统动量守恒，机械能也守恒，根据守恒定律列方程后联立求解即可；
（4）根据牛顿第二定律求出小球与物块碰后的速率，根据能量守恒求出物块获得的动能，并由能量守恒求解绝缘物块从C点运动至D点时，弹簧具有的弹性势能Ep．
解答：解析：（1）带电小球垂直于边界GH进入复合场，运动到O点恰与绝缘板碰撞，碰后能返回平台，说明小球在复合场中 qE=mg ①
洛仑兹力做匀速圆周运动的向心力，且经过半个圆周到达O点，碰后再经过半个周期回到二级平台．由 qvB=m
T=
得到带电粒子在磁场运动的周期公式 T=
②
①②消去q，得交变磁场变化的周期 T=
；
（2）由牛顿第二定律有：qvB=m
③
由几何关系有：r=
h ④
①③④联立，解得：v=
⑤
（3）设小球碰撞后的速度大小为V，绝缘板的速度大小为Vm．则题意可知，小球返回的半径r′=
=
，又根据r=
可得：V=
⑥
小球与绝缘板碰撞过程中，以小球和绝缘板为系统，由动量守恒得：mv=-mV+MVm ⑦
而小球与绝缘板发生的是弹性碰撞，它们构成的系统机械能守恒，有：
有：
mv2=
mV2+
MVm2 ⑧
⑤⑥⑦⑧联立解得：M=3m ⑨
（4）绝缘板从C点运动至D点的过程中，根据功能关系有：
EP+μMgS=
MVm2 ⑩
①③⑤⑥⑦⑨⑩联立解得：EP=
-3μmgS．
答：（1）磁场变化的周期T为
．
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v为
．
（3）绝缘板的质量M为3m．
（4）绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能EP为
-3μmgS．
洛仑兹力做匀速圆周运动的向心力，且经过半个圆周到达O点，碰后再经过半个周期回到二级平台．由 qvB=m
| v2 |
| r |
T=
| 2πr |
| v |
得到带电粒子在磁场运动的周期公式 T=
| 2πm |
| qB |
①②消去q，得交变磁场变化的周期 T=
| 2mE |
| gB |
（2）由牛顿第二定律有：qvB=m
| v2 |
| r |
由几何关系有：r=
| 1 |
| 2 |
①③④联立，解得：v=
| gBh |
| 2E |
（3）设小球碰撞后的速度大小为V，绝缘板的速度大小为Vm．则题意可知，小球返回的半径r′=
| r |
| 2 |
| h |
| 4 |
| mv |
| qB |
| v |
| 2 |
小球与绝缘板碰撞过程中，以小球和绝缘板为系统，由动量守恒得：mv=-mV+MVm ⑦
而小球与绝缘板发生的是弹性碰撞，它们构成的系统机械能守恒，有：
有：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
⑤⑥⑦⑧联立解得：M=3m ⑨
（4）绝缘板从C点运动至D点的过程中，根据功能关系有：
EP+μMgS=
| 1 |
| 2 |
①③⑤⑥⑦⑨⑩联立解得：EP=
| 3m(gBh)2 |
| 32E2 |
答：（1）磁场变化的周期T为
| 2mE |
| gB |
（2）小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v为
| gBh |
| 2E |
（3）绝缘板的质量M为3m．
（4）绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能EP为
| 3m(gBh)2 |
| 32E2 |
点评：本题考查洛仑兹力、动量守恒、机械能守恒、功能原理等等知识，考查学生综合分析带电粒子在复合场运动和碰撞问题等能力．本题空间思维能力要求高，信息量多，没有分清物理情景是不可能作出正确的计算的．在处理问题时既要注意摸清过程，又要分清物体在各点的状态，运用正确的公式列式，才能取得成效，是一道不错的压轴题．
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